《2025年长江全能学案同步练习册八年级数学上册人教版》

例 4 已知$x^{2}+2y^{2}-2xy + 4y + 4 = 0$,求$x^{2}+y^{2}$的值；
(2)已知等腰三角形$ABC的三边长分别为a$,$b$,$c$,其中$a$,$b满足a^{2}+b^{2}+45 = 12a + 6b$,求$\triangle ABC$的周长.
解：(1)$\because x^{2}+2y^{2}-2xy + 4y + 4 = 0$,
$\therefore (x^{2}-2xy + y^{2})+(y^{2}+4y + 4)= 0$,
$\therefore (x - y)^{2}+(y + 2)^{2}= 0$.
$\because (x - y)^{2}\geq0$,$(y + 2)^{2}\geq0$,
$\therefore x - y = 0$,$y + 2 = 0$,$\therefore x = y = - 2$,
$\therefore x^{2}+y^{2}= 8$.
(2)$\because a^{2}+b^{2}+45 = 12a + 6b$,
$\therefore (a^{2}-12a + 36)+(b^{2}-6b + 9)= 0$,
$\therefore (a - 6)^{2}+(b - 3)^{2}= 0$.
$\because (a - 6)^{2}\geq0$,$(b - 3)^{2}\geq0$,
$\therefore a - 6 = 0$,$b - 3 = 0$,$\therefore a = 6$,$b = 3$.
$\because \triangle ABC$为等腰三角形,$\therefore c = 6$,
$\therefore \triangle ABC的周长是15$.

答案：
(1)$8$；
(2)$15$。

1. 如果$(x + y - 3)^{2}+(x - y + 5)^{2}= 0$,则$x^{2}-y^{2}= $-15.

答案： -15

2. 已知$x^{2}+y^{2}= 10$,$x + y = 2$,则$xy= $-3.

答案： -3

3. (1)$x^{2}+6x + 5= (x + 3)^{2}-$4；
(2)$9m^{2}-18m + 11= ($$3m$-3$)^{2}+2$；
(3)$4m^{2}+8m + 8 + 9n^{2}-12n= (2m + $2$)^{2}+(3n - $2$)^{2}$.

答案：
(1) 4；
(2) $3m$；3；
(3) 2；2；

4. 为了运用平方差公式计算$(a - b + c)(a + b - c)$,必须先适当变形,下列各变形中正确的是(D)
A.$[(a + c)-b][(a - c)+b]$
B.$[(a - b)+c][(a + b)-c]$
C.$[(b + c)-a][(b - c)+a]$
D.$[a-(b - c)][a+(b - c)]$

答案： D

5. 若$(2x + 3y)^{2}= (2x - 3y)^{2}+$( )成立,则括号内应该填的式子为(A)
A.$24xy$
B.$6xy$
C.$12xy$
D.$18xy$

答案： A

6. 我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列,其中“杨辉三角”就是一例. 如图,这个三角形的构造法则如下：两腰上的数都是$1$,其余每个数均为其上方左右两数之和,它给出了$(a + b)^{n}$($n$为正整数)的展开式(按$a$的次数由大到小的顺序排列)的系数规律. 例如,三角形中第三行的三个数$1$,$2$,$1$,恰好对应$(a + b)^{2}= a^{2}+2ab + b^{2}$展开式中的系数；第四行的四个数$1$,$3$,$3$,$1$,恰好对应$(a + b)^{3}= a^{3}+3a^{2}b + 3ab^{2}+b^{3}$展开式中的系数；等等.

(1)根据上面的规律,写出$(a + b)^{5}$的展开式；
(2)利用上面的规律计算：$2^{5}-5×2^{4}+10×2^{3}-10×2^{2}+5×2 - 1$.

答案：
(1) $(a+b)^5=a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5$
(2) 由杨辉三角系数规律可知$a^5 - 5a^4b + 10a^3b^2 - 10a^2b^3 + 5ab^4 - b^5=(a - b)^5$，在$2^{5}-5×2^{4}+10×2^{3}-10×2^{2}+5×2 - 1$中$a = 2$，$b = 1$，则原式$=(2 - 1)^5=1$。