《2025年长江全能学案同步练习册八年级数学上册人教版》

例1 下列两个多项式相乘,哪些可用平方差公式,哪些不能？能用平方差公式计算的,请写出计算结果.
(1)$(2a - 3b)(3b - 2a)$；
(2)$(-2a + 3b)(2a + 3b)$；
(3)$(-2a + 3b)(-2a - 3b)$.
【思路导析】两个多项式因式中,如果一项相同,另一项互为相反数就可以用平方差公式.

答案：
(1) 不能用了平方差公式。
(2) 可以用平方差公式：
$(-2a + 3b)(2a + 3b) = (3b - 2a)(3b + 2a) = (3b)^2 - (2a)^2 = 9b^2 - 4a^2$。
(3) 可以用平方差公式：
$(-2a + 3b)(-2a - 3b) = (-2a)^2 - (3b)^2 = 4a^2 - 9b^2$。

例2 利用平方差公式计算：
(1)$59.8×60.2$；
(2)$103×97$；
(3)$(5 + 1)(5^{2} + 1)(5^{4} + 1)(5^{8} + 1)(5^{16} + 1)+\frac{1}{4}$.
【思路导析】设法构建两数和与两数差,再利用平方差公式计算.

答案：
(1)
$59.8×60.2=(60 - 0.2)×(60 + 0.2)$
$=60^{2}-0.2^{2}$
$=3600 - 0.04$
$=3599.96$
(2)
$103×97=(100 + 3)×(100 - 3)$
$=100^{2}-3^{2}$
$=10000 - 9$
$=9991$
(3)
$(5 + 1)(5^{2}+1)(5^{4}+1)(5^{8}+1)(5^{16}+1)+\frac{1}{4}$
$=\frac{1}{4}×(5^{2}-1)(5^{2}+1)(5^{4}+1)(5^{8}+1)(5^{16}+1)+\frac{1}{4}$
$=\frac{1}{4}×(5^{4}-1)(5^{4}+1)(5^{8}+1)(5^{16}+1)+\frac{1}{4}$
$=\frac{1}{4}×(5^{8}-1)(5^{8}+1)(5^{16}+1)+\frac{1}{4}$
$=\frac{1}{4}×(5^{16}-1)(5^{16}+1)+\frac{1}{4}$
$=\frac{1}{4}×(5^{32}-1)+\frac{1}{4}$
$=\frac{5^{32}-1 + 1}{4}$
$=\frac{5^{32}}{4}$

例3 $(1 - \frac{1}{2^{2}})(1 - \frac{1}{3^{2}})(1 - \frac{1}{4^{2}})…(1 - \frac{1}{2025^{2}})(1 - \frac{1}{2026^{2}})$.
【思路导析】原式$\overset{逆用平方差公式}{\longrightarrow}\overset{找规律}{\longrightarrow}$最终结果.
【示范解答】
原式$=(1 - \frac{1}{2})(1 + \frac{1}{2})(1 - \frac{1}{3})(1 + \frac{1}{3})…$
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1 - \frac{1}{2025})(1 + \frac{1}{2025})(1 - \frac{1}{2026})(1 + \frac{1}{2026})$
$\;\;\;\;\;\;\;=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×\frac{2}{3}×\frac{4}{3}×\frac{3}{4}×\frac{5}{4}×…×$
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{2024}{2025}×\frac{2026}{2025}×\frac{2025}{2026}×\frac{2027}{2026}$
$\;\;\;\;\;\;\;=\frac{1}{2}×\frac{2027}{2026}$
$\;\;\;\;\;\;\;=\frac{2027}{4052}$

答案： 原式$=(1 - \frac{1}{2})(1 + \frac{1}{2})(1 - \frac{1}{3})(1 + \frac{1}{3})\cdots(1 - \frac{1}{2025})(1 + \frac{1}{2025})(1 - \frac{1}{2026})(1 + \frac{1}{2026})$
$=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×\frac{2}{3}×\frac{4}{3}×\frac{3}{4}×\frac{5}{4}×\cdots×\frac{2024}{2025}×\frac{2026}{2025}×\frac{2025}{2026}×\frac{2027}{2026}$
$=\frac{1}{2}×\frac{2027}{2026}$
$=\frac{2027}{4052}$
综上，答案为$\frac{2027}{4052}$。