《2025年长江全能学案同步练习册八年级数学上册人教版》

例1 计算：

(1) $ 3ab^{2} \cdot (-\frac{1}{3}a^{2}b) \cdot 2abc $；
(2) $ (-2x^{n - 1}y^{n}) \cdot (-3xy) \cdot (-\frac{1}{2}x^{2}z) $；
(3) $ -6m^{2}n \cdot (x - y)^{3} \cdot \frac{1}{3}mn^{2} \cdot (y - x)^{2} $。
【思路导析】单项式乘法运算的基本步骤：
一、确定积的符号；
二、把系数与同底数的幂分别相乘；
三、把它们的积分别作为积的因式。

答案：
(1)
$3ab^{2}\cdot(-\frac{1}{3}a^{2}b)\cdot2abc$
$=[3×(-\frac{1}{3})×2]\cdot(a\cdot a^{2}\cdot a)\cdot(b^{2}\cdot b\cdot b)\cdot c$
$=-2a^{1 + 2+1}b^{2 + 1+1}c$
$=-2a^{4}b^{4}c$
(2)
$(-2x^{n - 1}y^{n})\cdot(-3xy)\cdot(-\frac{1}{2}x^{2}z)$
$=[(-2)×(-3)×(-\frac{1}{2})]\cdot(x^{n - 1}\cdot x\cdot x^{2})\cdot(y^{n}\cdot y)\cdot z$
$=-3x^{n - 1+1 + 2}y^{n + 1}z$
$=-3x^{n + 2}y^{n + 1}z$
(3)
因为$(y - x)^{2}=(x - y)^{2}$，
所以$-6m^{2}n\cdot(x - y)^{3}\cdot\frac{1}{3}mn^{2}\cdot(y - x)^{2}$
$=[(-6)×\frac{1}{3}]\cdot(m^{2}\cdot m)\cdot(n\cdot n^{2})\cdot(x - y)^{3}\cdot(x - y)^{2}$
$=-2m^{3}n^{3}(x - y)^{3 + 2}$
$=-2m^{3}n^{3}(x - y)^{5}$

例2 计算：
(1) $ (0.3x^{3}y^{4})^{2} \cdot (-0.2x^{4}y^{3})^{2} $；
(2) $ 5a^{3}b \cdot (-3b)^{2} + (-6ab)^{2} \cdot (-ab) - ab^{3} \cdot (-4a)^{2} $；
(3) $ -4(-a^{2}bc)^{2} \cdot 3a \cdot (bc)^{3} - (-abc)^{3} \cdot (-abc)^{2} $。
【思路导析】本例三个小题是混合运算,要注意运算顺序,应先算乘方,再算乘法,最后算加减。

答案：
(1) 原式$=(0.3^2x^{3×2}y^{4×2})\cdot((-0.2)^2x^{4×2}y^{3×2})$
$=(0.09x^6y^8)\cdot(0.04x^8y^6)$
$=0.09×0.04x^{6+8}y^{8+6}$
$=0.0036x^{14}y^{14}$
(2) 原式$=5a^3b\cdot9b^2+36a^2b^2\cdot(-ab)-ab^3\cdot16a^2$
$=45a^3b^3-36a^3b^3-16a^3b^3$
$=(45-36-16)a^3b^3$
$=-7a^3b^3$
(3) 原式$=-4(a^4b^2c^2)\cdot3a\cdot(b^3c^3)-(-a^3b^3c^3)\cdot(a^2b^2c^2)$
$=-12a^5b^5c^5-(-a^5b^5c^5)$
$=-12a^5b^5c^5+a^5b^5c^5$
$=-11a^5b^5c^5$

例3 纳米是一种长度单位,1米等于$ 10^{9} $纳米,试计算长为5米、宽为4米、高为3米的长方体的体积是多少立方纳米。
【思路导析】长方体体积= 长×宽×高。
【示范解答】5米= $ 5×10^{9} $纳米,4米= $ 4×10^{9} $纳米,3米= $ 3×10^{9} $纳米。
$\begin{aligned}V&= (5×10^{9})×(4×10^{9})×(3×10^{9})\\&=(5×4×3)×(10^{9}×10^{9}×10^{9})\\&=60×10^{27}\\&=6×10^{28}(立方纳米)\end{aligned} $
故长为5米、宽为4米、高为3米的长方体的体积是$ 6×10^{28} $立方纳米。

答案： 5米=$5×10^{9}$纳米，4米=$4×10^{9}$纳米，3米=$3×10^{9}$纳米。
$V=(5×10^{9})×(4×10^{9})×(3×10^{9})$
$=(5×4×3)×(10^{9}×10^{9}×10^{9})$
$=60×10^{27}$
$=6×10^{28}$(立方纳米)
故长为5米、宽为4米、高为3米的长方体的体积是$6×10^{28}$立方纳米。

(1)“三角”表示$ 3xyz $,“方框”表示$ -4a^{b}d^{c} $,则×= -36m⁶n³。


(2)若$ 1 + 2 + 3 + … + n = m $,则$ (ab^{n}) \cdot (a^{2}b^{n - 1})…(a^{n - 1}b^{2}) \cdot (a^{n}b) = $(ab)ᵐ。

答案：
(1)-36m⁶n³；
(2)(ab)ᵐ