《2025年长江全能学案同步练习册八年级数学上册人教版》

1. 计算：(1)$ (-5a^{4}) \cdot (-8ab^{2}) = $$40a^{5}b^{2}$；
(2)$ (-x^{n}y^{n + 1}z) \cdot (x^{3}y^{2n})^{2} = $$-x^{n + 6}y^{5n + 1}z$。

答案：
(1)$40a^{5}b^{2}$；
(2)$-x^{n + 6}y^{5n + 1}z$

2. 计算$ (-5ax) \cdot (3x^{2})^{2} \cdot y^{2} $的结果是$-45ax^{5}y^{2}$,计算$ -2ab \cdot 3b $的结果是$-6ab^{2}$。

答案： $-45ax^{5}y^{2}$；$-6ab^{2}$

3. 某同学在计算一个多项式乘以$ -3x^{2} $时,因抄错运算符号,算成了加上$ -3x^{2} $,得到的结果是$ x^{2} - 4x + 1 $,那么正确的计算结果是$-12x^{4} + 12x^{3} - 3x^{2}$。

答案： 设原多项式为$A$，
根据题意，该同学错误地将多项式$A$与$-3x^{2}$相加，得到：
$A + (-3x^{2}) = x^{2} - 4x + 1$，
从上式中解出$A$，得：
$A = x^{2} - 4x + 1 + 3x^{2} = 4x^{2} - 4x + 1$，
使用原多项式$A$与$-3x^{2}$进行乘法运算，得：
$A × (-3x^{2}) = (4x^{2} - 4x + 1) × (-3x^{2})$
$= -12x^{4} + 12x^{3} - 3x^{2}$。
故答案为：$-12x^{4} + 12x^{3} - 3x^{2}$。

4. 下面计算正确的是(B)

A.$ 3x^{3} \cdot 5x^{2} = 15x^{6} $
B.$ 4y \cdot (-2xy^{2}) = -8xy^{3} $
C.$ (-3x)^{2} \cdot 4x^{3} = -12x^{5} $
D.$ (-2a)^{3}(-3a)^{2} = -54a^{5} $

答案： B

5. 如果单项式$ -3x^{4a - b}y^{2} 与 \frac{1}{3}x^{3}y^{a + b} $是同类项,那么这两个单项式的积是(D)
A.$ x^{6}y^{4} $
B.$ -x^{3}y^{2} $
C.$ -\frac{8}{3}x^{3}y^{2} $
D.$ -x^{6}y^{4} $

答案： D

6. 计算：
(1)$ 2a^{2}×(-2ab)×(-ab)^{3} $；
(2)$ (2m^{2}n)^{2} + (-mn)(-\frac{1}{3}m^{3}n) $；
(3)$ 3x^{3}y^{3} \cdot (-\frac{2}{3}x^{2}y^{2}) + (-\frac{1}{3}x^{2}y)^{3} \cdot 9xy^{2} $。

答案：
(1)
$(-ab)^{3}=-a^{3}b^{3}$
$2a^{2}×(-2ab)×(-a^{3}b^{3})$
$=2a^{2}×(-2ab)×(-1)× a^{3}b^{3}$
$=2×(-2)×(-1)a^{2 + 1+3}b^{1 + 3}$
$=4a^{6}b^{4}$
(2)
$(2m^{2}n)^{2}=4m^{4}n^{2}$
$(-mn)(-\frac{1}{3}m^{3}n)=\frac{1}{3}m^{4}n^{2}$
$(2m^{2}n)^{2}+(-mn)(-\frac{1}{3}m^{3}n)$
$=4m^{4}n^{2}+\frac{1}{3}m^{4}n^{2}$
$=(4+\frac{1}{3})m^{4}n^{2}$
$=\frac{13}{3}m^{4}n^{2}$
(3)
$3x^{3}y^{3}\cdot(-\frac{2}{3}x^{2}y^{2})=-2x^{5}y^{5}$
$(-\frac{1}{3}x^{2}y)^{3}=-\frac{1}{27}x^{6}y^{3}$
$(-\frac{1}{27}x^{6}y^{3})\cdot9xy^{2}=-\frac{1}{3}x^{7}y^{5}$
$3x^{3}y^{3}\cdot(-\frac{2}{3}x^{2}y^{2})+(-\frac{1}{3}x^{2}y)^{3}\cdot9xy^{2}$
$=-2x^{5}y^{5}-\frac{1}{3}x^{7}y^{5}$

7. (1)先化简,再求值：$ 2x^{2}y(-2xy^{2})^{3} + (2xy)^{3} \cdot (-xy^{2})^{2} $,其中$ x = 4 $,$ y = \frac{1}{4} $；
(2)已知$ \frac{1}{4}(x^{2}y^{3})^{m} \cdot (2xy^{n + 1})^{2} = x^{4}y^{9} $,求$ m $,$ n $的值。

答案：
(1)
首先化简式子：
$2x^{2}y(-2xy^{2})^{3} + (2xy)^{3} \cdot (-xy^{2})^{2}$
$= 2x^{2}y \cdot (-8x^{3}y^{6}) + 8x^{3}y^{3} \cdot x^{2}y^{4}$
$= -16x^{5}y^{7} + 8x^{5}y^{7}$
$= -8x^{5}y^{7}$
当 $x = 4$，$y = \frac{1}{4}$ 时，
$-8x^{5}y^{7}$
$= -8 × 4^{5} × \left(\frac{1}{4}\right)^{7}$
$= -8 × 1024 × \frac{1}{16384}$
$= -\frac{1}{2}$
(2)
由题意，
$\frac{1}{4}(x^{2}y^{3})^{m} \cdot (2xy^{n + 1})^{2} = x^{4}y^{9}$
展开得：
$\frac{1}{4}x^{2m}y^{3m} \cdot 4x^{2}y^{2n + 2} = x^{4}y^{9}$
进一步化简为：
$x^{2m + 2}y^{3m + 2n + 2} = x^{4}y^{9}$
根据指数相等的原则，有：
$2m + 2 = 4$
$3m + 2n + 2 = 9$
解得：
$m = 1$
$n = 2$

8. 市环保局将一个长$ 2×10^{6} $分米、宽$ 4×10^{4} $分米、高$ 8×10^{2} $分米的长方体废水池中的满池废水注入正方体贮水池净化,请你想一想,能否恰好有一个正方体贮水池将这些废水刚好装满？若有,求出正方体贮水池的棱长；若没有,请说明理由。

答案： 能恰好有一个正方体贮水池将这些废水刚好装满。
长方体废水池体积：$V = (2×10^{6})×(4×10^{4})×(8×10^{2})$
$= (2×4×8)×(10^{6}×10^{4}×10^{2})$
$= 64×10^{12}$（立方分米）
设正方体棱长为$l$，则$l^{3}=64×10^{12}$。
$\because 64=4^{3}$，$10^{12}=(10^{4})^{3}$，
$\therefore l^{3}=4^{3}×(10^{4})^{3}=(4×10^{4})^{3}$，
$\therefore l=4×10^{4}$（分米）
答：正方体贮水池的棱长为$4×10^{4}$分米。

9. 当$ |a + b - 1| + (a - b - 3)^{2} = 0 $时,化简求值：$ 3a^{2}(a^{3}b^{2} - 2a) - 4a(-a^{2}b)^{2} $。

答案： -80