《2025年长江全能学案同步练习册八年级数学上册人教版》

13. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$\angle B= \angle C = 45^{\circ}$,点 $D$ 在 $BC$ 边上,点 $E$ 在 $AC$ 边上,且 $\angle ADE= \angle AED$,连接 $DE$。
(1)当 $\angle BAD = 60^{\circ}$ 时,求 $\angle CDE$ 的度数；
(2)当点 $D$ 在 $BC$(点 $B$,$C$ 除外)边上运动时,试写出 $\angle BAD$ 与 $\angle CDE$ 的数量关系,并说明理由。

答案：
(1)
∵在△ABC中，∠B=∠C=45°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=90°。
∵∠BAD=60°，
∴∠DAC=∠BAC-∠BAD=90°-60°=30°。
∵∠ADE=∠AED，
∴△ADE为等腰三角形，∠ADE=∠AED=(180°-∠DAC)/2=(180°-30°)/2=75°。
在△ABD中，∠ADB=180°-∠B-∠BAD=180°-45°-60°=75°，
∴∠ADC=180°-∠ADB=180°-75°=105°。
∵∠ADC=∠ADE+∠CDE，
∴∠CDE=∠ADC-∠ADE=105°-75°=30°。
(2)
∠BAD=2∠CDE。理由如下：
设∠BAD=α，则∠DAC=∠BAC-∠BAD=90°-α。
∵∠ADE=∠AED，
∴∠ADE=∠AED=(180°-∠DAC)/2=(180°-(90°-α))/2=45°+α/2。
在△ABD中，∠ADB=180°-∠B-∠BAD=180°-45°-α=135°-α，
∴∠ADC=180°-∠ADB=180°-(135°-α)=45°+α。
∵∠ADC=∠ADE+∠CDE，
∴∠CDE=∠ADC-∠ADE=(45°+α)-(45°+α/2)=α/2，
即∠CDE=∠BAD/2，故∠BAD=2∠CDE。

14. 等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法。
(1)如图 1,在 $\mathrm{Rt}\triangle ABC$ 中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$BC = 3$,$AC = 4$,$AB = 5$,$CD\perp AB$ 于点 $D$,则 $CD$ 的长为$\frac{12}{5}$。
(2)如图 2,在 $\triangle ABC$ 中,$AB = 4$,$BC = 2$,则 $\triangle ABC$ 的高 $CD$ 与 $AE$ 的比是$\frac{1}{2}$。
(3)如图 3,在 $\triangle ABC$ 中,$\angle C = 90^{\circ}(\angle A＜\angle ABC)$,点 $D$,$P$ 分别在边 $AB$,$AC$ 上,且 $BP = AP$,$DE\perp BP$ 于点 $E$,$DF\perp AP$ 于点 $F$。若 $BC = 10$,求 $DE + DF$ 的值。

10

答案：
(1) 在$\mathrm{Rt}\triangle ABC$中，$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}×4×3=6$。又$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot CD$，$AB=5$，则$\frac{1}{2}×5× CD=6$，解得$CD=\frac{12}{5}$。
(2) 设$\triangle ABC$面积为$S$，$CD$是$AB$边上的高，$AE$是$BC$边上的高。则$S=\frac{1}{2}AB\cdot CD=\frac{1}{2}×4\cdot CD$，$S=\frac{1}{2}BC\cdot AE=\frac{1}{2}×2\cdot AE$。故$4CD=2AE$，$\frac{CD}{AE}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
(3) 连接$PD$。设$AP=BP=x$，$S_{\triangle APB}=S_{\triangle APD}+S_{\triangle BPD}$。$S_{\triangle APD}=\frac{1}{2}AP\cdot DF$，$S_{\triangle BPD}=\frac{1}{2}BP\cdot DE$，故$S_{\triangle APB}=\frac{1}{2}x(DE+DF)$，得$DE+DF=\frac{2S_{\triangle APB}}{x}$。
在$\mathrm{Rt}\triangle BCP$中，$BP^2=BC^2+PC^2$，设$AC=b$，$PC=b-x$，则$x^2=10^2+(b-x)^2$，化简得$2bx=b^2+100$。
$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}×10b=5b$，$S_{\triangle BPC}=\frac{1}{2}×10(b-x)=5(b-x)$，$S_{\triangle APB}=S_{\triangle ABC}-S_{\triangle BPC}=5b-5(b-x)=5x$。
则$DE+DF=\frac{2×5x}{x}=10$。
(1)$\frac{12}{5}$
(2)$\frac{1}{2}$
(3)$10$

15. 在三角形纸片中,点 $D$,$E$ 分别在边 $AC$,$BC$ 上,将 $\angle C$ 沿 $DE$ 折叠,使点 $C$ 落在点 $C'$ 的位置。
(1)如图 1,若点 $C'$ 在边 $BC$ 上,$\angle ADC' = 58^{\circ}$,则 $\angle C=$29$^{\circ}$,$\angle ADC'$ 与 $\angle C$ 的数量关系是$\angle ADC' = 2\angle C$；
(2)如图 2,若点 $C'$ 在 $\triangle ABC$ 内部,$\angle BEC' = 42^{\circ}$,$\angle ADC' = 20^{\circ}$,则 $\angle C=$31$^{\circ}$；
(3)如图 3,若点 $C'$ 在 $\triangle ABC$ 外部,设 $\angle BEC'$ 的度数为 $x$,$\angle ADC'$ 的度数为 $y$,试探究 $\angle C$ 与 $x$,$y$ 之间的数量关系。

$\angle C = \frac{y - x}{2}$

答案：
(1) 29；∠ADC' = 2∠C
(2) 31
(3) ∠C = $\frac{y - x}{2}$