《2025年长江全能学案同步练习册八年级数学上册人教版》

例 1 如图 1,D 是△ABC 中 BC 边上的中线,求证：AD ＜ $\frac{1}{2}(AB + AC)$。

【解析】如图 2,可延长 AD 到点 E,使 AD = DE,连接 BE,则△ACD ≌ △EBD,从而有 BE = AC,进而在△ABE 中利用三角形三边关系证明。

解：延长 AD 至点 E,使 AD = DE,连接 BE。
∵AD 是△ABC 中 BC 边上的中线,∴BD = DC。
又∵AD = DE,∠ADC = ∠EDB,
∴△ACD ≌ △EBD,∴AC = BE。
在△ABE 中,AE ＜ AB + BE,即 2AD ＜ AB + AC,
∴AD ＜ $\frac{1}{2}(AB + AC)$。

答案： 延长 AD 至点 E，使 AD = DE，连接 BE。
∵AD 是△ABC 中 BC 边上的中线，
∴BD = DC。
又
∵AD = DE，∠ADC = ∠EDB，
∴△ACD ≌ △EBD（SAS），
∴AC = BE。
在△ABE 中，AE ＜ AB + BE，即 2AD ＜ AB + AC，
∴AD ＜ $\frac{1}{2}(AB + AC)$。

例 2 如图 3,AB // CD,CE,BE 分别平分∠BCD 和∠CBA,点 E 在 AD 上,求证：BC = AB + CD。

【解析】从结论出发,采用截长补短法把两条较短的线段补到一条线段上,或把较长的线段 BC 截成与 AB,CD 分别相等的两条线段。
解：(方法一：截长法)如图 4,在 BC 上取一点 F,使 BF = BA. 连接 EF。

∵CE,BE 分别平分∠BCD,∠CBA,
∴∠3 = ∠4,∠1 = ∠2。
在△ABE 和△FBE 中,$\left\{\begin{array}{l}BA = BF,\\∠1 = ∠2,\\BE = BE,\end{array} \right.$
∴△ABE ≌ △FBE(SAS),
∴∠A = ∠5。
∵AB // CD,
∴∠A + ∠D = 180°,而∠5 + ∠6 = 180°,
∴∠6 = ∠D。
在△EFC 和△EDC 中,$\left\{\begin{array}{l}∠6 = ∠D,\\∠3 = ∠4,\\EC = EC,\end{array} \right.$
∴△EFC ≌ △EDC(AAS),
∴FC = CD,∴BC = BF + CF = AB + CD。
(方法二：补短法)如图 5,延长 BA 至点 F,使 BF = BC,连接 EF。

∵CE,BE 分别平分∠BCD,∠CBA,
∴∠1 = ∠2 = $\frac{1}{2}∠ABC$,∠3 = ∠4 = $\frac{1}{2}∠BCD$。
在△BEF 和△BEC 中,$\left\{\begin{array}{l}BF = BC,\\∠1 = ∠2,\\BE = BE,\end{array} \right.$
∴△BEF ≌ △BEC(SAS),
∴EF = EC,∠F = ∠3 = ∠4。
∵AB // CD,∴∠7 = ∠D。
在△AEF 和△DEC 中,$\left\{\begin{array}{l}∠7 = ∠D,\\∠F = ∠4,\\EF = EC,\end{array} \right.$
∴△AEF ≌ △DEC(AAS),∴AF = CD。
∵BC = BF = AB + AF,
∴BC = AB + CD。

答案： 解：(方法一：截长法)
在$BC$上取一点$F$，使$BF = BA$，连接$EF$。
因为$CE$，$BE$分别平分$\angle BCD$，$\angle CBA$，
所以$\angle 3 = \angle 4$，$\angle 1 = \angle 2$。
在$\triangle ABE$和$\triangle FBE$中，
$\begin{cases}BA = BF\\\angle 1 = \angle 2\\BE = BE\end{cases}$
所以$\triangle ABE\cong \triangle FBE(SAS)$，
所以$\angle A = \angle 5$。
因为$AB// CD$，
所以$\angle A+\angle D = 180^{\circ}$，而$\angle 5+\angle 6 = 180^{\circ}$，
所以$\angle 6 = \angle D$。
在$\triangle EFC$和$\triangle EDC$中，
$\begin{cases}\angle 6 = \angle D\\\angle 3 = \angle 4\\EC = EC\end{cases}$
所以$\triangle EFC\cong \triangle EDC(AAS)$，
所以$FC = CD$，
所以$BC = BF + CF = AB + CD$。
(方法二：补短法)
延长$BA$至点$F$，使$BF = BC$，连接$EF$。
因为$CE$，$BE$分别平分$\angle BCD$，$\angle CBA$，
所以$\angle 1 = \angle 2=\frac{1}{2}\angle ABC$，$\angle 3 = \angle 4=\frac{1}{2}\angle BCD$。
在$\triangle BEF$和$\triangle BEC$中，
$\begin{cases}BF = BC\\\angle 1 = \angle 2\\BE = BE\end{cases}$
所以$\triangle BEF\cong \triangle BEC(SAS)$，
所以$EF = EC$，$\angle F = \angle 3 = \angle 4$。
因为$AB// CD$，
所以$\angle 7 = \angle D$。
在$\triangle AEF$和$\triangle DEC$中，
$\begin{cases}\angle 7 = \angle D\\\angle F = \angle 4\\EF = EC\end{cases}$
所以$\triangle AEF\cong \triangle DEC(AAS)$，
所以$AF = CD$。
因为$BC = BF = AB + AF$，
所以$BC = AB + CD$。