《2025年长江全能学案同步练习册八年级数学上册人教版》

6. 先化简,再求值.
(1)$(a + b)(a - 2b) - (a + 2b)(a - b)$,其中$a = \frac{1}{2}$,$b = 8$；
(2)$(3x - 2)(x - 3) - 2(x + 6)(x - 5) + 3(x^{2} - 7x + 13)$,其中$x = 3\frac{1}{2}$.

答案：
(1)
首先展开并化简整式：
$(a + b)(a - 2b) - (a + 2b)(a - b)$
$= a^2 - 2ab + ab - 2b^2 - (a^2 - ab + 2ab - 2b^2)$
$= a^2 - ab - 2b^2 - a^2 - ab + 2b^2$
$= -2ab$
然后，代入$a = \frac{1}{2}$，$b = 8$：
$-2ab = -2 × \frac{1}{2} × 8 = -8$
(2)
首先展开并化简整式：
$(3x - 2)(x - 3) - 2(x + 6)(x - 5) + 3(x^2 - 7x + 13)$
$= 3x^2 - 9x - 2x + 6 - 2(x^2 - 5x + 6x - 30) + 3x^2 - 21x + 39$
$= 3x^2 - 11x + 6 - 2x^2 + 10x - 12x + 60 + 3x^2 - 21x + 39$
$= 4x^2 - 34x + 105$
然后，代入$x = 3\frac{1}{2} = \frac{7}{2}$：
$4x^2 - 34x + 105$
$= 4 × (\frac{7}{2})^2 - 34 × \frac{7}{2} + 105$
$= 4 × \frac{49}{4} - 119 + 105$
$= 49 - 119 + 105$
$= 35$

7. 在长方形$ABCD$内,将两张边长分别为$a和b(a ＞ b)$的正方形纸片(如图1)按图2、图3两种方式放置(图2、图3中两张正方形纸片均有部分重叠),长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示.设图2中阴影部分的面积为$S_{1}$,图3中阴影部分的面积为$S_{2}$,当$AD - AB = 2$时,求$S_{2} - S_{1}$的值.
(图1)
(图2)
(图3)

答案： $\boxed{2}$