《2025年长江全能学案同步练习册八年级数学上册人教版》

例 1 在 $\triangle ABC$ 中,$AB = AC$,$AC$ 边上的中线 $BD$ 把 $\triangle ABC$ 的周长分为 $12\mathrm{cm}$ 和 $15\mathrm{cm}$ 两部分,求三角形的各边长。
解：设 $AB = x\mathrm{cm}$,则 $AD = CD= \frac{1}{2}AC= \frac{1}{2}AB= \frac{1}{2}x(\mathrm{cm})$。
(1)如图 6(1),若 $AB + AD = 12(\mathrm{cm})$,
即 $x+\frac{1}{2}x = 12$,解得 $x = 8$。
即 $AB = AC = 8\mathrm{cm}$,则 $CD = 4\mathrm{cm}$。
故 $BC = 15 - 4 = 11(\mathrm{cm})$。
此时 $AB + AC＞BC$,所以 $\triangle ABC$ 的三边长分别为 $8\mathrm{cm}$,$8\mathrm{cm}$,$11\mathrm{cm}$。

(2)如图 6(2),若 $AB + AD = 15(\mathrm{cm})$,
即 $x+\frac{1}{2}x = 15$,解得 $x = 10$。
即 $AB = AC = 10\mathrm{cm}$,则 $CD = 5\mathrm{cm}$。
故 $BC = 12 - 5 = 7(\mathrm{cm})$。
此时 $AB + AC＞BC$,所以 $\triangle ABC$ 的三边长分别为 $10\mathrm{cm}$,$10\mathrm{cm}$,$7\mathrm{cm}$。
综上所述,此三角形的三边长分别为 $8\mathrm{cm}$,$8\mathrm{cm}$,$11\mathrm{cm}$ 或 $10\mathrm{cm}$,$10\mathrm{cm}$,$7\mathrm{cm}$。

答案： 设$AB = xcm$，因为$AB = AC$，$BD$是$AC$边上的中线，所以$AD = CD=\frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}xcm$。
（1）若$AB + AD = 12cm$，则$x+\frac{1}{2}x = 12$，
$\frac{3}{2}x = 12$，
解得$x = 8$。
所以$AB = AC = 8cm$，$CD = 4cm$。
因为$CD + BC = 15cm$，所以$BC = 15 - 4 = 11cm$。
此时$AB + AC=8 + 8 = 16\gt11$，满足三角形三边关系，所以$\triangle ABC$的三边长分别为$8cm$，$8cm$，$11cm$。
（2）若$AB + AD = 15cm$，则$x+\frac{1}{2}x = 15$，
$\frac{3}{2}x = 15$，
解得$x = 10$。
所以$AB = AC = 10cm$，$CD = 5cm$。
因为$CD + BC = 12cm$，所以$BC = 12 - 5 = 7cm$。
此时$AB + AC=10 + 10 = 20\gt7$，满足三角形三边关系，所以$\triangle ABC$的三边长分别为$10cm$，$10cm$，$7cm$。
综上，此三角形的三边长分别为$8cm$，$8cm$，$11cm$或$10cm$，$10cm$，$7cm$。