《2025年长江全能学案同步练习册八年级数学上册人教版》

例1 如图14.2-14,已知$AB = CD$,$AE\perp BD$,$CF\perp BD$,垂足分别为$E$,$F$,$BF = DE$。求证：$AB// CD$。

【思路导析】要证明$AB// CD$,只需证明$\angle B= \angle D$,而$\angle B和\angle D正好分别在\triangle AEB和\triangle CFD$中,故只要证明这两个三角形全等即可。
【请你证明】

答案： 证明：
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB=∠CFD=90°。
∵BF=DE，
∴BF+EF=DE+EF，即BE=DF。
在Rt△AEB和Rt△CFD中，
$\left\{\begin{array}{l} AB=CD,\\ BE=DF,\end{array}\right.$
∴Rt△AEB≌Rt△CFD（HL）。
∴∠B=∠D。
∴AB//CD。

例2 如图14.2-15,$\angle BAC = 90^{\circ}$,$AB = AC$,点$D在AC$上,点$E在BA$的延长线上,$BD = CE$,$BD的延长线交CE于点F$,求证：$BF\perp CE$。

【思路导析】易证得$Rt\triangle BAD和Rt\triangle CAE$全等,然后利用全等三角形的对应角相等以及三角形的内角和定理可证$BF\perp CE$。
【请你证明】

答案： 证明：
∵∠BAC=90°，
∴∠CAE=180°-∠BAC=90°，
在Rt△BAD和Rt△CAE中，
$\left\{\begin{array}{l} BD=CE\\ AB=AC\end{array}\right.$，
∴Rt△BAD≌Rt△CAE（HL），
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠ADB=∠FDC（对顶角相等），
∠ABD+∠ADB=90°（直角三角形两锐角互余），
∴∠ACE+∠FDC=90°，
∴∠DFC=180°-（∠ACE+∠FDC）=90°，
∴BF⊥CE。

例3 如图14.2-16,$AC\perp AD$,$BC\perp BD$,$OE\perp CD$,$AC = BD$,求证：$DE = CE$。

【思路导析】由图可知,$DE$,$CE分别在\triangle ODE和\triangle OCE$中,如果$\triangle ODE\cong\triangle OCE$,则可证$DE = CE$。由条件可知$\angle A= \angle B = 90^{\circ}$,$AC = BD$,$DC$,$CD$是公共边,所以$Rt\triangle ADC\cong Rt\triangle BCD$,所以$\angle ACD= \angle BDC$,则$\triangle ODE\cong\triangle OCE$可证,故$DE = CE$可证。
【示范解答】$\because AC\perp AD$,$BC\perp BD$,
$\therefore\angle A= \angle B = 90^{\circ}$。
在$Rt\triangle ADC和Rt\triangle BCD$中,$\left\{\begin{array}{l}DC = CD\\AC = BD\end{array} \right.$,
$\therefore Rt\triangle ADC\cong Rt\triangle BCD(HL)$,
$\therefore\angle ACD= \angle BDC$。
在$Rt\triangle ODE和Rt\triangle OCE$中,
$\left\{\begin{array}{l}\angle ODE= \angle OCE\\\angle OED= \angle OEC = 90^{\circ}\\OE = OE\end{array} \right.$,
$\therefore Rt\triangle ODE\cong Rt\triangle OCE(AAS)$,
$\therefore DE = CE$。

答案： $\because AC\perp AD$，$BC\perp BD$，
$\therefore \angle A=\angle B=90^{\circ}$。
在$Rt\triangle ADC$和$Rt\triangle BCD$中，
$\left\{\begin{array}{l} DC=CD\\ AC=BD\end{array}\right.$，
$\therefore Rt\triangle ADC\cong Rt\triangle BCD(HL)$，
$\therefore \angle ACD=\angle BDC$。
$\because OE\perp CD$，
$\therefore \angle OED=\angle OEC=90^{\circ}$。
在$\triangle ODE$和$\triangle OCE$中，
$\left\{\begin{array}{l} \angle ODE=\angle OCE\\ \angle OED=\angle OEC\\ OE=OE\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle ODE\cong\triangle OCE(AAS)$，
$\therefore DE=CE$。