《2025年长江全能学案同步练习册八年级数学上册人教版》

例 6 解方程：$3^{2x + 2} - 3^{2x + 1} = 486$.
【思路导析】逆用同底数幂的乘法法则,将$3^{2x + 2}与3^{2x + 1}分别转化为3^{2x}\cdot 9与3^{2x}\cdot 3$,从而得到关于 x 的新方程.
【示范解答】原方程可化为$3^{2x}\cdot 9 - 3^{2x}\cdot 3 = 486$,
即$6\cdot 3^{2x} = 486$,
所以$3^{2x} = 81$,即$3^{2x} = 3^{4}$,
所以$2x = 4$,所以$x = 2$.

答案： 原方程可化为$3^{2x}\cdot 3^{2} - 3^{2x}\cdot 3^{1} = 486$，
即$3^{2x}\cdot 9 - 3^{2x}\cdot 3 = 486$，
提取公因式$3^{2x}$得$3^{2x}(9 - 3) = 486$，
即$6\cdot 3^{2x} = 486$，
两边同时除以6得$3^{2x} = 81$，
因为$81 = 3^{4}$，所以$3^{2x} = 3^{4}$，
则$2x = 4$，
解得$x = 2$。

例 7 已知$a^{m} = 4$,$b^{m} = 9$,求$(ab)^{2m}$的值.

【思路导析】本题用整体代入法来求解,把$a^{m}$,$b^{m}$分别作为一个整体,逆用幂的运算的法则以及积的乘方把$(ab)^{2m}化为a^{2m}b^{2m} = (a^{m})^{2}$
·$(b^{m})^{2}$,再代入$a^{m}$,$b^{m}$的值即可求解.
【示范解答】当$a^{m} = 4$,$b^{m} = 9$时,$(ab)^{2m} = a^{2m}\cdot b^{2m} = (a^{m})^{2}\cdot (b^{m})^{2} = 4^{2}×9^{2} = 16×81 = 1296$.

答案： $(ab)^{2m} = a^{2m} \cdot b^{2m} = (a^{m})^{2} \cdot (b^{m})^{2} = 4^{2} × 9^{2} = 16 × 81 = 1296$。

已知 a,b 互质,且$(a^{m}b^{2}\cdot ab^{n})^{5} = a^{15}b^{20}$,则$(3m)^{n} = $36.

答案： 36

1. (1)$(x^{4})^{2} = $$x^{8}$；
(2)$-(y^{4})^{3} = $$-y^{12}$；
(3)$(a^{m})^{4} = $$a^{4m}$；
(4)$(-y^{4})^{2} = $$y^{8}$.

答案：
(1)$x^{8}$；
(2)$-y^{12}$；
(3)$a^{4m}$；
(4)$y^{8}$。

2. (1)$(mn)^{2} = $$m^{2}n^{2}$；
(2)$(-2x^{2}y)^{3} = $$-8x^{6}y^{3}$；
(3)$(\dfrac{1}{2}mn^{3})^{3} = $$\dfrac{1}{8}m^{3}n^{9}$；
(4)$(-2×10^{3})^{2} = $$4 × 10^{6}$.

答案：
(1) $m^{2}n^{2}$
(2) $-8x^{6}y^{3}$
(3) $\dfrac{1}{8}m^{3}n^{9}$
(4) $4 × 10^{6}$

3. (1)$[(2a - b)^{3}]^{3} = $$(2a - b)^{9}$；
(2)$(-a^{3})^{5}\cdot (-a^{2})^{6} = $$-a^{27}$.

答案：
(1) $(2a - b)^{9}$；
(2) $-a^{27}$。

4. 若$a^{x} = 2$,$b^{x} = 3$,则$(a^{2}b)^{2x} = $144.

答案： 144

5. 若$10^{a} = 5$,$10^{b} = 6$,则$10^{2a + 3b} = $5400.

答案： 5400

6. 给出下列四个计算过程：①$(a^{4})^{4} = a^{4 + 4} = a^{8}$；②$[(b^{2})^{2}]^{2} = b^{2×2×2} = b^{8}$；③$[(-x)^{3}]^{2} = x^{6}$；④$(-y^{2})^{3} = y^{6}$.其中正确的个数是(C)
A.0
B.1
C.2
D.3

答案： C

7. 给出下列计算：①$(4x^{3})^{2} = 8x^{6}$；②$(-5a^{5}b^{5})^{2} = -25a^{10}b^{10}$；③$(-\dfrac{2}{3}x)^{3} = -\dfrac{8}{3}x^{3}$；④$(3x^{2}y^{3})^{4} = 81x^{6}y^{7}$.其中错误的个数是(D)
A.1
B.2
C.3
D.4

答案： D

8. 已知$2^{a} = 4$,$2^{b} = 8$,$2^{c} = 16$,那么下列关于 a,b,c 的大小关系正确的是(CD)
A.$b + a ＜ c$
B.$2b ＜ a + c$
C.$2b = a + c$
D.$2a ＜ b + c$

答案： CD

9. 如果$(a^{m}b^{n})^{3} = a^{9}b^{12}$,那么 m,n 的值等于(B)
A.$m = 9$,$n = 4$
B.$m = 3$,$n = 4$
C.$m = 4$,$n = 3$
D.$m = 9$,$n = 6$

答案： B