《2025年长江全能学案同步练习册八年级数学上册人教版》

16. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ \angle ACB = 90^{\circ} $,$ CE $ 是 $ \triangle ABC $ 的角平分线,$ CD\perp AB $,垂足为 $ D $,延长 $ CE $ 与外角 $ \angle ABG $ 的平分线交于点 $ F $。若 $ \angle A = 60^{\circ} $,求 $ \angle DCE + \angle F $ 的度数。

答案： 1. 首先求$\angle DCE$的度数：
已知$\angle ACB = 90^{\circ}$，$\angle A = 60^{\circ}$，$CD\perp AB$，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，在$\triangle ABC$中，$\angle ABC=180^{\circ}-\angle A - \angle ACB=180^{\circ}-60^{\circ}-90^{\circ}=30^{\circ}$；在$\triangle ACD$中，$\angle ACD = 180^{\circ}-\angle A-\angle ADC=180^{\circ}-60^{\circ}-90^{\circ}=30^{\circ}$。
因为$CE$是$\angle ACB$的角平分线，所以$\angle ACE=\frac{1}{2}\angle ACB$，由$\angle ACB = 90^{\circ}$，可得$\angle ACE = 45^{\circ}$。
那么$\angle DCE=\angle ACE-\angle ACD$，即$\angle DCE = 45^{\circ}-30^{\circ}=15^{\circ}$。
2. 然后求$\angle F$的度数：
因为$\angle ABG$是$\triangle ABC$的外角，所以$\angle ABG=\angle A+\angle ACB$，$\angle ABG = 60^{\circ}+90^{\circ}=150^{\circ}$。
又因为$BF$平分$\angle ABG$，$CE$平分$\angle ACB$，所以$\angle FBG=\frac{1}{2}\angle ABG$，$\angle FCB=\frac{1}{2}\angle ACB$。
根据三角形外角性质$\angle FBG=\angle F+\angle FCB$（$\angle FBG$是$\triangle FCB$的外角）。
已知$\angle FBG=\frac{1}{2}×150^{\circ}=75^{\circ}$，$\angle FCB = 45^{\circ}$，则$\angle F=\angle FBG-\angle FCB$。
所以$\angle F=75^{\circ}-45^{\circ}=30^{\circ}$。
3. 最后求$\angle DCE+\angle F$的度数：
把$\angle DCE = 15^{\circ}$，$\angle F = 30^{\circ}$代入$\angle DCE+\angle F$，可得$\angle DCE+\angle F=15^{\circ}+30^{\circ}=45^{\circ}$。
综上，$\angle DCE+\angle F$的度数为$45^{\circ}$。

17. 在 $ \triangle ABC $ 中,$ \angle ACB = 90^{\circ} $,$ \angle ABC = 40^{\circ} $,$ P $ 是射线 $ BC $ 上一动点(与 $ B $,$ C $ 点不重合),连接 $ AP $,过点 $ C $ 作 $ CD\perp AP $ 于点 $ D $,直线 $ CD $ 交直线 $ AB $ 于点 $ E $,设 $ \angle APC = \alpha $。
(1)若点 $ P $ 在线段 $ BC $ 上,且 $ \alpha = 60^{\circ} $,如图 $ 1 $,直接写出 $ \angle PAB $ 的大小；
(2)若点 $ P $ 在线段 $ BC $ 上运动,如图 $ 2 $,求 $ \angle AED $ 的大小(用含 $ \alpha $ 的式子表示)；
(3)若点 $ P $ 在 $ BC $ 的延长线上运动,且 $ \alpha \neq 50^{\circ} $,直接写出 $ \angle AED $ 的大小(用含 $ \alpha $ 的式子表示)。

答案：
(1) 20°
(2) 在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=40°，则∠BAC=50°。
∵点P在线段BC上，∠APC=α，∠ACB=90°，
∴在Rt△ACP中，∠PAC=90°-α。
∵CD⊥AP，
∴∠ADC=90°，
在Rt△ADC中，∠ACD=90°-∠PAC=α。
在△ACE中，∠CAE=50°，∠ACE=α，
∴∠AEC=180°-∠CAE-∠ACE=180°-50°-α=130°-α，
即∠AED=130°-α。
(3) α+50°