《2025年长江全能学案同步练习册八年级数学上册人教版》

例1 计算：

(1)$10^{8}×10^{2}$；
(2)$(-x)^{2}\cdot (-x)^{3}$；
(3)$a^{n+2}\cdot a^{n+1}\cdot a^{n}\cdot a$；
(4)$(x - 2y)^{2}\cdot (x - 2y)^{3}\cdot (x - 2y)^{4}$。
【思路导析】(1)中两个幂的底数都是10；(2)中两个幂的底数都是$-x$；(3)中四个幂的底数都是$a$；(4)中三个幂的底数都是$(x - 2y)$。这四题都可应用同底数幂的运算性质计算。

答案：
(1)
根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得：
$10^{8}×10^{2}=10^{8 + 2}=10^{10}$
(2)
同理，$(-x)^{2}\cdot (-x)^{3}=(-x)^{2 + 3}=(-x)^{5}=-x^{5}$
(3)
$a^{n + 2}\cdot a^{n + 1}\cdot a^{n}\cdot a=a^{n + 2+n + 1+n + 1}=a^{3n + 4}$
(4)
$(x - 2y)^{2}\cdot (x - 2y)^{3}\cdot (x - 2y)^{4}=(x - 2y)^{2+3 + 4}=(x - 2y)^{9}$
综上，答案依次为：
(1)$10^{10}$；
(2)$-x^{5}$；
(3)$a^{3n + 4}$；
(4)$(x - 2y)^{9}$。

例2 (1)已知$2^{m}= 32$,$2^{n}= 4$,求$2^{m + n}$的值；
(2)已知$2^{x}= 64$,求$2^{x + 3}$的值。
【思路导析】逆用同底数幂的乘法法则$a^{m}\cdot a^{n}= a^{m + n}$,即$a^{m + n}= a^{m}\cdot a^{n}$,可类推$2^{m + n}= 2^{m}\cdot 2^{n}$,$2^{x + 3}= 2^{x}\cdot 2^{3}$。

答案：
(1)
已知 $2^{m} = 32$，$2^{n} = 4$，
根据同底数幂的乘法法则逆用，有$2^{m + n} = 2^{m} \cdot 2^{n}$，
将已知条件代入上式，得$2^{m + n} = 32 × 4 = 128$。
(2)
已知 $2^{x} = 64$，
要求 $2^{x + 3}$，根据同底数幂的乘法法则逆用，有$2^{x + 3} = 2^{x} \cdot 2^{3}$，
将已知条件代入上式，得$2^{x + 3} = 64 × 8 = 512$。

例3 如果$3^{n}+m$能被13整除,那么试说明$3^{n + 3}+m$也能被13整除。
【思路导析】(方法一)可以逆用同底数幂的乘法运算将$3^{n + 3}+m变形成26×3^{n}+(3^{n}+m)$。根据已知条件知$3^{n}+m$能被13整除,$26×3^{n}$也能被13整除,因此$3^{n + 3}+m$也能被13整除；
(方法二)如果$3^{n}+m$能被13整除,且$3^{n + 3}+m与3^{n}+m$的差也能被13整除,那么$3^{n + 3}+m$也能被13整除。
【示范解答】(方法一：直接法)
$3^{n + 3}+m= 3^{n}×3^{3}+m= 27×3^{n}+m= 26×3^{n}+(3^{n}+m)$。
$\because 26×3^{n}和3^{n}+m$都能被13整除,
$\therefore 26×3^{n}+(3^{n}+m)$能被13整除,即$3^{n + 3}+m$能被13整除。
(方法二：作差法)
$\because (3^{n + 3}+m)-(3^{n}+m)= 3^{n + 3}-3^{n}= 3^{n}×3^{3}-3^{n}= 27×3^{n}-3^{n}= 26×3^{n}$,
$\therefore 3^{n + 3}+m与3^{n}+m$的差能被13整除。
又$\because 3^{n}+m$能被13整除,
$\therefore 3^{n + 3}+m$也能被13整除。

答案： 方法一：直接法
$3^{n+3}+m=3^n \cdot 3^3 + m=27 \cdot 3^n + m=26 \cdot 3^n + (3^n + m)$。
$\because 26 \cdot 3^n$能被13整除（$26=13 × 2$），且$3^n + m$能被13整除，
$\therefore 26 \cdot 3^n + (3^n + m)$能被13整除，即$3^{n+3}+m$能被13整除。
方法二：作差法
$(3^{n+3}+m)-(3^n + m)=3^{n+3}-3^n=3^n \cdot 3^3 - 3^n=27 \cdot 3^n - 3^n=26 \cdot 3^n$。
$\because 26 \cdot 3^n$能被13整除（$26=13 × 2$），即$3^{n+3}+m$与$3^n + m$的差能被13整除，
又$\because 3^n + m$能被13整除，
$\therefore 3^{n+3}+m$能被13整除。