《2025年长江全能学案同步练习册八年级数学上册人教版》

例1 计算：

(1)$10^{8}×10^{2}$；
(2)$(-x)^{2}· (-x)^{3}$；
(3)$a^{n+2}· a^{n+1}· a^{n}· a$；
(4)$(x - 2y)^{2}· (x - 2y)^{3}· (x - 2y)^{4}$。

答案：
(1)
根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得：
$10^{8}×10^{2}=10^{8 + 2}=10^{10}$
(2)
同理，$(-x)^{2}· (-x)^{3}=(-x)^{2 + 3}=(-x)^{5}=-x^{5}$
(3)
$a^{n + 2}· a^{n + 1}· a^{n}· a=a^{n + 2+n + 1+n + 1}=a^{3n + 4}$
(4)
$(x - 2y)^{2}· (x - 2y)^{3}· (x - 2y)^{4}=(x - 2y)^{2+3 + 4}=(x - 2y)^{9}$
综上，答案依次为：
(1)$10^{10}$；
(2)$-x^{5}$；
(3)$a^{3n + 4}$；
(4)$(x - 2y)^{9}$。

例2 (1)已知$2^{m}= 32$,$2^{n}= 4$,求$2^{m + n}$的值；
(2)已知$2^{x}= 64$,求$2^{x + 3}$的值。

答案：
(1)
已知 $2^{m} = 32$，$2^{n} = 4$，
根据同底数幂的乘法法则逆用，有$2^{m + n} = 2^{m} · 2^{n}$，
将已知条件代入上式，得$2^{m + n} = 32 × 4 = 128$。
(2)
已知 $2^{x} = 64$，
要求 $2^{x + 3}$，根据同底数幂的乘法法则逆用，有$2^{x + 3} = 2^{x} · 2^{3}$，
将已知条件代入上式，得$2^{x + 3} = 64 × 8 = 512$。

例3 如果$3^{n}+m$能被13整除,那么试说明$3^{n + 3}+m$也能被13整除。

答案： 方法一：直接法
$3^{n+3}+m=3^n · 3^3 + m=27 · 3^n + m=26 · 3^n + (3^n + m)$。
$\because 26 · 3^n$能被13整除（$26=13 × 2$），且$3^n + m$能被13整除，
$\therefore 26 · 3^n + (3^n + m)$能被13整除，即$3^{n+3}+m$能被13整除。
方法二：作差法
$(3^{n+3}+m)-(3^n + m)=3^{n+3}-3^n=3^n · 3^3 - 3^n=27 · 3^n - 3^n=26 · 3^n$。
$\because 26 · 3^n$能被13整除（$26=13 × 2$），即$3^{n+3}+m$与$3^n + m$的差能被13整除，
又$\because 3^n + m$能被13整除，
$\therefore 3^{n+3}+m$能被13整除。