《2025年长江全能学案同步练习册八年级数学上册人教版》

7. 对于一个图形,通过两种不同的方法计算它的面积,可以得到一个数学等式,例如根据图 1 的面积,可以得到$(a + b)^{2}= a^{2}+2ab + b^{2}$. 请解答下列问题：

(1)根据图 2 的面积,可以得到数学等式$(a + b + c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab + 2ac+2bc$；
(2)根据整式乘法的运算法则,通过计算验证上述等式；
$(a + b + c)(a + b + c)$
$=a(a + b + c)+b(a + b + c)+c(a + b + c)$
$=a^{2}+ab+ac+ab + b^{2}+bc+ac+bc + c^{2}$
$=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab + 2ac+2bc$
(3)利用(1)中得到的结论,解决下面的问题：若$a + b + c = 10$,$ab + ac + bc = 35$,则$a^{2}+b^{2}+c^{2}= $30；
(4)小明同学用$x张边长为a$的正方形纸片、$y张边长为b$的正方形纸片、$z张边长分别为a$,$b的长方形纸片拼出一个面积为(5a + 7b)(9a + 4b)$的长方形(纸片如图 3 所示),则$x + y + z= $156.

答案：
(1)$(a + b + c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab + 2ac+2bc$
(2)$(a + b + c)(a + b + c)$
$=a(a + b + c)+b(a + b + c)+c(a + b + c)$
$=a^{2}+ab+ac+ab + b^{2}+bc+ac+bc + c^{2}$
$=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab + 2ac+2bc$
(3)因为$a + b + c = 10$，$ab + ac + bc = 35$，
由$(a + b + c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(ab + ac + bc)$，
可得$a^{2}+b^{2}+c^{2}=(a + b + c)^{2}-2(ab + ac + bc)=10^{2}-2×35=100 - 70 = 30$
(4)因为$(5a + 7b)(9a + 4b)$
$=5a×9a+5a×4b+7b×9a+7b×4b$
$=45a^{2}+20ab + 63ab+28b^{2}$
$=45a^{2}+28b^{2}+83ab$
所以$x = 45$，$y = 28$，$z = 83$，
则$x + y+z=45 + 28+83 = 156$
故答案依次为：
(1)$(a + b + c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab + 2ac+2bc$；
(3)$30$；
(4)$156$。