《2025年长江全能学案同步练习册八年级数学上册人教版》

17. 对于二次三项式 $x^{2} + 2ax + a^{2}$,可以直接用公式法把它因式分解为 $(x + a)^{2}$ 的形式,但对于二次三项式 $x^{2} + 2ax - 3a^{2}$,就不能直接用公式法了,我们可以在二次三项式 $x^{2} + 2ax - 3a^{2}$ 中先加上一项 $a^{2}$,使其成为完全平方式,再减去 $a^{2}$ 这项,使整个式子的值不变。于是有
$\begin{aligned}x^{2} + 2ax - 3a^{2} &= x^{2} + 2ax - 3a^{2} + a^{2} - a^{2}\\&= x^{2} + 2ax + a^{2} - a^{2} - 3a^{2}\\&= (x + a)^{2} - (2a)^{2}\\&= (x + 3a)(x - a).\end{aligned} $
像上面这样把二次三项式因式分解的方法叫作添(拆)项法。
(1)请用上述方法把 $x^{2} - 4x + 3$ 因式分解；
(2)多项式 $x^{2} + 2x + 2$ 有最小值吗？如果有,那么当它有最小值时 $x$ 的值是多少？

答案：
(1)
$\begin{aligned}x^{2}-4x + 3&=x^{2}-4x+4 - 4 + 3\\&=(x - 2)^{2}-1^{2}\\&=(x - 2 + 1)(x - 2 - 1)\\&=(x - 1)(x - 3)\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}x^{2}+2x + 2&=x^{2}+2x + 1 - 1 + 2\\&=(x + 1)^{2}+1\end{aligned}$
因为$(x + 1)^{2}\geq0$，所以$(x + 1)^{2}+1\geq1$，当且仅当$(x + 1)^{2}=0$，即$x=-1$时，多项式有最小值$1$。
有最小值，当$x=-1$时取得最小值。

18. 材料一：对于一个图形,通过两种不同的方法计算它的面积,可以得到一个数学等式。

(1)用不同代数式表示图 1 中的阴影部分的面积,可得等式为 $(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$。
材料二：已知 $a - b = -4$,$ab = 3$,求 $a^{2} + b^{2}$ 的值。
解：$\because a - b = -4$,$ab = 3$,$\therefore a^{2} + b^{2} = (a - b)^{2} + 2ab = (-4)^{2} + 2 × 3 = 22$。
请你根据上述信息解答下面问题：
(2)①已知 $a - b = -1$,$ab = 12$,求 $a^{2} + b^{2}$ 的值；
②已知 $(2023 - x)(2024 - x) = 12$,求 $(2023 - x)^{2} + (2024 - x)^{2}$ 的值；
(3)如图 2,在长方形 $ABCD$ 中,$AB = 8$,$BC = 6$,点 $E$,$F$ 是 $BC$,$CD$ 上的点,且 $BE = DF = x$,分别以 $CF$,$CE$ 为边在长方形 $ABCD$ 外侧作正方形 $CFGH$ 和 $CEMN$,若长方形 $CEPF$ 的面积为 $35$,则图中阴影部分的面积和为 74。

答案：
(1)$(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$
(2)①$\because a-b=-1$，$ab=12$，$\therefore a^{2}+b^{2}=(a-b)^{2}+2ab=(-1)^{2}+2×12=1+24=25$
②设$m=2023-x$，$n=2024-x$，则$n-m=1$，$mn=12$，$\therefore m^{2}+n^{2}=(n-m)^{2}+2mn=1^{2}+2×12=1+24=25$
(3)$\because$四边形$ABCD$是长方形，$AB=8$，$BC=6$，$BE=DF=x$，$\therefore CE=6-x$，$CF=8-x$，$\because$长方形$CEPF$面积为$35$，$\therefore CE\cdot CF=(6-x)(8-x)=35$，即$x^{2}-14x+13=0$，解得$x=1$或$x=13$（舍去），$\therefore$阴影部分面积和为$(8-x)^{2}+(6-x)^{2}=7^{2}+5^{2}=49+25=74$