《2025年长江全能学案同步练习册八年级数学上册人教版》

10. 现有下列命题：①若$5^{x} = 25$,则$5^{2x} = 50$；②若$a ＞ b$,则$\dfrac{a}{c^{2} + 1} ＞ \dfrac{b}{c^{2} + 1}$；③若$x^{2} = y^{2}$,则$x = y$.其中真命题有(C)
A.3 个
B.2 个
C.1 个
D.0 个

答案： C

11. 计算：
(1)$(-2a^{2}b)^{2}\cdot (-2a^{2}b^{2})^{3}$；
(2)$(-2x^{2}y)^{3} + 8(x^{2})^{2}\cdot (-x)^{2}\cdot (-y)^{3}$；
(3)$(-3a^{3})^{2}\cdot a^{3} + (-4a)^{2}\cdot a^{7} - (5a^{3})^{3}$.

答案：
(1) $(-2a^{2}b)^{2}\cdot (-2a^{2}b^{2})^{3}$
$=(-2)^2(a^2)^2b^2\cdot(-2)^3(a^2)^3(b^2)^3$
$=4a^4b^2\cdot(-8a^6b^6)$
$=4×(-8)a^{4+6}b^{2+6}$
$=-32a^{10}b^8$
(2) $(-2x^{2}y)^{3} + 8(x^{2})^{2}\cdot (-x)^{2}\cdot (-y)^{3}$
$=(-2)^3(x^2)^3y^3+8x^4\cdot x^2\cdot(-y^3)$
$=-8x^6y^3+8x^6(-y^3)$
$=-8x^6y^3-8x^6y^3$
$=-16x^6y^3$
(3) $(-3a^{3})^{2}\cdot a^{3} + (-4a)^{2}\cdot a^{7} - (5a^{3})^{3}$
$=9a^6\cdot a^3+16a^2\cdot a^7-125a^9$
$=9a^9+16a^9-125a^9$
$=-100a^9$

12. 计算：
$0.125^{9}×(-8)^{10} + (\dfrac{3}{4})^{11}×(1\dfrac{1}{3})^{12}$.

答案： 解题步骤：
1. 计算第一部分：$0.125^{9}×(-8)^{10}$
$0.125 = \frac{1}{8}$，$(-8)^{10} = 8^{10}$，则：
原式$= \left(\frac{1}{8}\right)^9 × 8^{10} = \left(\frac{1}{8}\right)^9 × 8^9 × 8 = \left(\frac{1}{8}×8\right)^9 × 8 = 1^9 × 8 = 8$。
2. 计算第二部分：$\left(\frac{3}{4}\right)^{11}×\left(1\frac{1}{3}\right)^{12}$
$1\frac{1}{3} = \frac{4}{3}$，则：
原式$= \left(\frac{3}{4}\right)^{11} × \left(\frac{4}{3}\right)^{12} = \left(\frac{3}{4}\right)^{11} × \left(\frac{4}{3}\right)^{11} × \frac{4}{3} = \left(\frac{3}{4}×\frac{4}{3}\right)^{11} × \frac{4}{3} = 1^{11} × \frac{4}{3} = \frac{4}{3}$。
3. 两部分相加
$8 + \frac{4}{3} = \frac{24}{3} + \frac{4}{3} = \frac{28}{3}$。
最终结论：$\boxed{\frac{28}{3}}$

13. 已知$[(\dfrac{1}{2})^{x + 2y}]^{2} = \dfrac{1}{1024}$,$(\dfrac{1}{2})^{2x} = \dfrac{1}{16}$,求$(\dfrac{1}{2})^{4y}$的值.

答案： $\frac{1}{64}$

14. 化简,再求值：$a^{3}(-b^{3})^{2} + (-\dfrac{1}{2}ab^{2})^{3}$,其中$a = \dfrac{1}{4}$,$b = 4$.

答案： 首先，我们根据幂的乘方与积的乘方运算法则来化简原式：
$a^{3}(-b^{3})^{2} + (-\dfrac{1}{2}ab^{2})^{3}$
$= a^{3}b^{6} - \dfrac{1}{8}a^{3}b^{6}$ （根据幂的乘方运算法则，$(-b^{3})^{2} = b^{6}$，根据积的乘方运算法则，$(-\dfrac{1}{2}ab^{2})^{3} = -\dfrac{1}{8}a^{3}b^{6}$）
$= \dfrac{7}{8}a^{3}b^{6}$ （合并同类项）
然后，我们将$a = \dfrac{1}{4}$，$b = 4$代入化简后的式子：
$\dfrac{7}{8}a^{3}b^{6} = \dfrac{7}{8} × (\dfrac{1}{4})^{3} × 4^{6}$
$= \dfrac{7}{8} × \dfrac{1}{64} × 4096$
$= 56$
故答案为：56。

15. 若$(x + y)^{m}\cdot (y + x)^{n} = (x + y)^{5}$,且$(x - y)^{m + 5}\cdot (x - y)^{5 - n} = (x - y)^{9}$,求$m^{n}\cdot n^{n}$的值.

答案： 216

16. 若$3^{2n - 1} + 9^{n} = 108$,求$(2n - 2)^{n}$的值.

答案： 由题意，将 $9^{n}$ 转化为 $3$ 的幂次形式，即 $9^{n} = (3^{2})^{n} = 3^{2n}$。
代入原方程 $3^{2n - 1} + 9^{n} = 108$，得：
$3^{2n - 1} + 3^{2n} = 108$
提取公因子 $3^{2n - 1}$，得：
$3^{2n - 1} × (1 + 3) = 108$
$3^{2n - 1} × 4 = 108$
$3^{2n - 1} = 27$
$3^{2n - 1} = 3^{3}$
由于底数相同，比较指数得：
$2n - 1 = 3$
$2n = 4$
$n = 2$
将 $n = 2$ 代入 $(2n - 2)^{n}$，得：
$(2 × 2 - 2)^{2} = 2^{2} = 4$
故 $(2n - 2)^{n} = 4$。

17. 已知,关于 x,y 的方程组$\begin{cases}x - y = 4k - 6,\\x + 2y = -5k\end{cases} $的解为 x,y.
(1)$x = $$k - 4$,$y = $$-3k + 2$；(用含 k 的式子表示)
(2)若 x,y 互为相反数,求 k 的值；$-1$
(3)若$2^{y}×3^{y}×6^{3x} = 36^{m}$,求 m 的值.$-5$

答案：
(1) 解方程组：
$\begin{cases}x - y = 4k - 6 \\x + 2y = -5k\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程消去$x$：
$(x + 2y) - (x - y) = -5k - (4k - 6)$
$3y = -9k + 6$
$y = -3k + 2$
将$y = -3k + 2$代入$x - y = 4k - 6$：
$x - (-3k + 2) = 4k - 6$
$x + 3k - 2 = 4k - 6$
$x = k - 4$
故$x = k - 4$，$y = -3k + 2$。
(2) 因为$x$，$y$互为相反数，所以$x + y = 0$。
由
(1)知$x = k - 4$，$y = -3k + 2$，则：
$(k - 4) + (-3k + 2) = 0$
$-2k - 2 = 0$
$-2k = 2$
$k = -1$。
(3) 左边化简：
$2^y × 3^y × 6^{3x} = (2 × 3)^y × 6^{3x} = 6^y × 6^{3x} = 6^{y + 3x}$
右边化简：
$36^m = (6^2)^m = 6^{2m}$
因为$6^{y + 3x} = 6^{2m}$，所以$y + 3x = 2m$。
将$x = k - 4$，$y = -3k + 2$代入：
$y + 3x = (-3k + 2) + 3(k - 4) = -3k + 2 + 3k - 12 = -10$
则$2m = -10$，$m = -5$。
(1)$k - 4$，$-3k + 2$；
(2)$-1$；
(3)$-5$