《2025年长江全能学案同步练习册八年级数学上册人教版》

11. 用一条长为 25 cm 的绳子围成一个等腰三角形。
(1)若其中一边比另一边长 2 cm,则三角形的各边长分别是9cm，9cm，7cm 或 23/3cm，23/3cm，29/3cm；
(2)能围成有一边长是 6 cm 的等腰三角形吗？请说明理由；
能。理由：
① 若6cm为腰长，底边长=25-6-6=13cm，6+6=12＜13，不满足三角形三边关系；
② 若6cm为底边长，腰长=(25-6)/2=9.5cm，9.5+6＞9.5且9.5+9.5＞6，满足三角形三边关系。故能围成，三边长为9.5cm，9.5cm，6cm。
(3)求等腰三角形腰长的取值范围。
设腰长为x cm，底边长(25-2x) cm，由三角形三边关系得：2x＞25-2x且25-2x＞0，解得25/4＜x＜25/2，即腰长取值范围是25/4cm＜x＜25/2cm。

答案：
(1) 9cm，9cm，7cm 或 23/3cm，23/3cm，29/3cm
(2) 能。理由：
① 若6cm为腰长，底边长=25-6-6=13cm，6+6=12＜13，不满足三角形三边关系；
② 若6cm为底边长，腰长=(25-6)/2=9.5cm，9.5+6＞9.5且9.5+9.5＞6，满足三角形三边关系。故能围成，三边长为9.5cm，9.5cm，6cm。
(3) 设腰长为x cm，底边长(25-2x) cm，由三角形三边关系得：2x＞25-2x且25-2x＞0，解得25/4＜x＜25/2，即腰长取值范围是25/4cm＜x＜25/2cm。

12. 已知 a,b,c 是三角形的三边长。
(1)化简：|a - b - c| + |b - c - a| + |c - a - b|；
(2)在(1)的条件下,若 a = 5,b = 4,c = 3,求这个式子的值。

答案：
(1)
因为$a,b,c$是三角形三边长，根据三角形三边关系：两边之和大于第三边。
所以$a - b - c=a-(b + c)\lt0$；$b - c - a=b-(c + a)\lt0$；$c - a - b=c-(a + b)\lt0$。
$\vert a - b - c\vert+\vert b - c - a\vert+\vert c - a - b\vert$
$=(b + c - a)+(c + a - b)+(a + b - c)$
$=a + b + c$
(2)
当$a = 5$，$b = 4$，$c = 3$时，代入$a + b + c$可得：
$5+4+3=12$
综上，
(1)化简结果为$a + b + c$；
(2)值为$12$。

13. 已知 a,b,c 为△ABC 的三边长。
(1)b,c 满足 $(b - 2)^2 + |c - 3| = 0$,且 a 为方程 |a - 4| = 2 的解,求该三角形的周长；
(2)若 a = 5,b = 2,且 c 为整数,求△ABC 的周长的最大值和最小值。

答案：
(1)
因为$(b - 2)^2 + |c - 3| = 0$，
所以$b - 2 = 0$，$c - 3 = 0$，
解得$b = 2$，$c = 3$。
由$\vert a - 4\vert = 2$，
则$a - 4 = 2$或$a - 4 = -2$，
解得$a = 6$或$a = 2$。
当$a = 6$，$b = 2$，$c = 3$时，$b + c=2 + 3 = 5\lt 6$，不满足三角形三边关系，舍去。
当$a = 2$，$b = 2$，$c = 3$时，$2 + 2＞3$，$2 + 3＞2$，$3 + 2＞2$，满足三边关系。
所以三角形周长为$a + b + c = 2 + 2+ 3 = 7$。
(2)
根据三角形三边关系$5 - 2\lt c\lt 5 + 2$，即$3\lt c\lt 7$。
因为$c$为整数，所以$c$的最大值为$6$，最小值为$4$。
当$c = 6$时，周长最大，最大值为$5 + 2+ 6 = 13$。
当$c = 4$时，周长最小，最小值为$5 + 2 + 4 = 11$。
综上，答案为：
(1) $7$；
(2) 最大值为$13$，最小值为$11$。

14. (1)如图 1,设△ABC 的三边长分别为 a,b,c,求证：$a ＜ \frac{1}{2}(a + b + c)$。
(2)如图 2,设四边形 ABCD 的四边 BA,AD,DC,CB 的长依次为 a,b,c,d,两条对角线 AC,BD 的长别为 e,f,求证：$e + f ＞ \frac{1}{2}(a + b + c + d)$。

答案： 1. （1）
解：
已知$b + c＞0$（三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边）。
在不等式$b + c＞0$两边同时加上$a$，根据不等式的基本性质$1$：不等式两边同时加上（或减去）同一个整式，不等号方向不变，得到$a+(b + c)＞a + 0$，即$a + b + c＞2a$。
两边同时除以$2$，根据不等式的基本性质$2$：不等式两边同时乘（或除以）同一个大于$0$的整式，不等号方向不变，可得$a＜\frac{1}{2}(a + b + c)$。
2. （2）
解：
在$\triangle ABD$中，根据三角形三边关系$a + b＞e$（三角形任意两边之和大于第三边）；在$\triangle BCD$中，$c + d＞e$；在$\triangle ABC$中，$a + d＞f$；在$\triangle ADC$中，$b + c＞f$。
将这四个不等式相加：$(a + b)+(c + d)+(a + d)+(b + c)＞e + e + f + f$。
整理得$2(a + b + c + d)＞2(e + f)$。
两边同时除以$2$，根据不等式的基本性质$2$，可得$e + f＞\frac{1}{2}(a + b + c + d)$。