《2025年长江全能学案同步练习册八年级数学上册人教版》

例 5 如图 10,在 $\triangle ABC$ 中,$\angle B = 63^{\circ}$,$\angle C = 51^{\circ}$,$AD$ 是 $BC$ 边上的高,$AE$ 是 $\angle BAC$ 的平分线,则 $\angle DAE= $$6^{\circ}$。

解法一：因为 $AE$ 是 $\angle BAC$ 的平分线,$\angle B = 63^{\circ}$,$\angle C = 51^{\circ}$,所以 $\angle CAE= \frac{1}{2}\angle BAC= \frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle B-\angle C)= \frac{1}{2}×(180^{\circ}-63^{\circ}-51^{\circ})= 33^{\circ}$。又因为 $AD$ 是 $BC$ 边上的高,所以 $\angle ADC = 90^{\circ}$,则 $\angle DAC = 90^{\circ}-\angle C = 90^{\circ}-51^{\circ}=39^{\circ}$,故 $\angle DAE= \angle DAC-\angle CAE = 39^{\circ}-33^{\circ}=6^{\circ}$。
故答案为 $6^{\circ}$。
解法二：$\angle DAE= \frac{1}{2}(\angle B-\angle C)= \frac{1}{2}(63^{\circ}-51^{\circ})= \frac{1}{2}×12^{\circ}=6^{\circ}$。

答案： $6^{\circ}$

例 6 如图 11,在 $\triangle ABC$ 中,$\angle C = 80^{\circ}$,在 $AC$ 边上取一点 $D$,使得 $\angle A= \angle ABD$,将 $\triangle ABD$ 沿 $BD$ 翻折得 $\triangle A'BD$,此时 $A'D// BC$,求 $\angle ABC$ 的度数。


解：设 $\angle A= \angle ABD = x$。
$\because \triangle ABD$ 沿 $BD$ 翻折得 $\triangle A'BD$,$\therefore \angle A'= \angle A = x$,$\angle A'BD= \angle ABD = x$。$\because A'D// BC$,$\therefore \angle CBA'= \angle A' = x$。$\therefore \angle CBA= \angle CBA'+\angle A'BD+\angle ABD = 3x$。
由三角形内角和定理,得 $\angle A+\angle ABC+\angle C = 180^{\circ}$,即 $x + 3x+80^{\circ}=180^{\circ}$,解得 $x = 25^{\circ}$,$\therefore \angle ABC = 3x = 3×25^{\circ}=75^{\circ}$。

答案：

1. 已知三角形的两边长分别为 $a$ 和 $b(a＞b)$,三角形的第三边长 $x$ 的取值范围为 $2＜x＜6$,则 $a^{b}= $16。

答案： 16

2. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$AD$,$AE$ 分别是 $BC$ 边上的中线和高,$AE = 2\mathrm{cm}$,$S_{\triangle ABD}= 1.5\mathrm{cm}^{2}$,则 $BC$ 的长为3。

答案： 3cm（本题为填空题，答案为3cm ，按照要求这里填数值3（单位已在题中给出））

3. 等腰三角形的一个外角等于 $80^{\circ}$,则这个三角形的内角分别为$100^{\circ},40^{\circ},40^{\circ}$。

答案： $100^{\circ},40^{\circ},40^{\circ}$

4. 如图,在平面直角坐标系中,$A$,$B$ 分别是 $x$ 轴、$y$ 轴上的两个动点,$\angle BAO$ 的平分线与 $\angle ABO$ 的外角平分线相交于点 $C$,在 $A$,$B$ 的运动过程中,$\angle C$ 的度数是一个定值,这个定值为45°。

答案： 45°