《2025年长江全能学案同步练习册八年级数学上册人教版》

8. 已知$a + b = 4$,$ab = - 12$,求下列各式的值：
(1)$a^2 + b^2$；
(2)$a^2 + ab + b^2$；
(3)$(a - b)^2$.

答案：
(1)
由完全平方公式$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，可得$a^2 + b^2=(a + b)^2 - 2ab$。
将$a + b = 4$，$ab = - 12$代入上式得：
$a^2 + b^2=4^2-2×(-12)=16 + 24 = 40$。
(2)
由
(1)知$a^2 + b^2 = 40$，又已知$ab = - 12$，将其代入$a^2 + ab + b^2$可得：
$a^2 + ab + b^2=40-12 = 28$。
(3)
由完全平方公式$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2=a^2 + b^2-2ab$。
由
(1)知$a^2 + b^2 = 40$，$ab = - 12$，代入上式得：
$(a - b)^2=40-2×(-12)=40 + 24 = 64$。
综上，答案依次为：
(1)$40$；
(2)$28$；
(3)$64$。

9. 如图1是一个长为$2a$、宽为$2b$的长方形,沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形,然后按图(2)的形状拼成一个正方形.
(1)图2中阴影部分的正方形边长是$a - b$；
(2)用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积：
方法1：$(a - b)^2$,
方法2：$(a + b)^2 - 4ab$；
(3)观察图2,请你写出式子$(a + b)^2$,$(a - b)^2$,$ab$之间的等量关系：$(a + b)^2 - 4ab=(a - b)^2$；
(4)根据(3)中的等量关系解决如下问题：
若$m - n = - 7$,$mn = 5$,则$(m + n)^2$的值为多少？

答案：
(1)$a - b$
(2)
方法1：$(a - b)^2$；
方法2：$(a + b)^2 - 4ab$
(3)$(a + b)^2 - 4ab=(a - b)^2$
(4)
由$(3)$可知$(m + n)^2=(m - n)^2 + 4mn$，
把$m - n = - 7$，$mn = 5$代入得：
$(m + n)^2=(-7)^2+4×5$
$=49 + 20$
$=69$
所以$(m + n)^2$的值为$69$。