《2025年长江全能学案同步练习册八年级数学上册人教版》

12. 如图,在△ABC中,AB= AC,AD为△ABC的角平分线.以点A为圆心,AD长为半径画弧,与AB,AC分别交于点E,F,连接DE,DF.
(1)求证：△ADE≌△ADF；
(2)若∠BAC= 80°,求∠BDE的度数.

答案：
(1)证明：
∵AD为△ABC的角平分线，
∴∠BAD=∠CAD。
∵以点A为圆心，AD长为半径画弧，
∴AE=AD，AF=AD，
∴AE=AF。
在△ADE和△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l} AE=AF\\ ∠BAD=∠CAD\\ AD=AD\end{array}\right.$
∴△ADE≌△ADF(SAS)。
(2)解：
∵AB=AC，∠BAC=80°，
∴∠B=∠C=$\frac{180° - 80°}{2}$=50°。
∵AD为△ABC的角平分线，AB=AC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=40°，
∴∠ADE=∠AED=$\frac{180° - 40°}{2}$=70°，
∴∠BDE=∠ADB - ∠ADE=90° - 70°=20°。

13. 在△ABC中,AB= AC.
(1)如图1,如果∠BAD= 30°,AD是BC上的高,AD= AE,则∠EDC= 15°；
(2)如图2,如果∠BAD= 40°,AD是BC上的高,AD= AE,则∠EDC= 20°；
(3)思考：通过以上两题,你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系？请用式子表示：∠EDC=1/2∠BAD；
(4)如图3,如果AD不是BC上的高,AD= AE,是否仍有上述关系？如有,请你写出来,并说明理由.
仍有∠EDC=1/2∠BAD。

答案：
(1)15°；
(2)20°；
(3)∠EDC=1/2∠BAD；
(4)仍有∠EDC=1/2∠BAD。