《2025年长江全能学案同步练习册八年级数学上册人教版》

将多项式 $ 4x^{2}+1 $ 加上一项,使它能分解因式成 $ (a + b)^{2} $ 的形式,以下是四名学生所加的项,其中错误的是(A)
A.$ 2x $
B.$ -4x $
C.$ 4x^{4} $
D.$ 4x $

答案： A

1. 分解因式：
(1) $ 3x^{2}-18x + 27 = $$3(x - 3)^{2}$；
(2) $ 2x^{2}-8xy + 8y^{2} = $$2(x - 2y)^{2}$.

答案：
(1)
首先提取公因式$3$，可得：$3x^{2}-18x + 27=3(x^{2}-6x + 9)$。
对括号内的式子$x^{2}-6x + 9$，根据完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，其中$a = x$，$b = 3$，则$x^{2}-6x + 9=(x - 3)^{2}$。
所以$3x^{2}-18x + 27=3(x - 3)^{2}$。
(2)
首先提取公因式$2$，可得：$2x^{2}-8xy + 8y^{2}=2(x^{2}-4xy + 4y^{2})$。
对括号内的式子$x^{2}-4xy + 4y^{2}$，根据完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a - b)^2$，其中$a = x$，$b = 2y$，则$x^{2}-4xy + 4y^{2}=(x - 2y)^{2}$。
所以$2x^{2}-8xy + 8y^{2}=2(x - 2y)^{2}$。
故答案为：
(1)$3(x - 3)^{2}$；
(2)$2(x - 2y)^{2}$。

2. 分解因式：
(1) $ ab^{2}-2ab + a = $$a(b - 1)^{2}$；
(2) $ (a + b)^{2}-6(a + b)+9 = $$(a + b - 3)^{2}$.

答案：
(1)
首先，从 $ab^{2} - 2ab + a$ 中提取公因式 $a$，得到：
$ab^{2} - 2ab + a = a(b^{2} - 2b + 1)$
观察 $b^{2} - 2b + 1$，这是一个完全平方公式，即 $(b - 1)^{2}$，所以：
$a(b^{2} - 2b + 1) = a(b - 1)^{2}$
(2)
将 $(a + b)^{2} - 6(a + b) + 9$ 视为一个完全平方公式，即：
$(a + b)^{2} - 6(a + b) + 9 = (a + b - 3)^{2}$

3. 若 $ m^{2}+km + 4 $ 是完全平方式,则 $ k = $±4.

答案： ±4

4. 将多项式 $ 2mx^{2}-8mx + 8m $ 分解因式,正确的结果是(C)
A.$ 2(mx^{2}-4mx + 4m) $
B.$ 2m(x^{2}-4x + 4) $
C.$ 2m(x - 2)^{2} $
D.$ 2m(x + 2)(x - 2) $

答案： C

5. 将下列多项式分解因式,结果中不含有因式 $ a + 1 $ 的是(C)
A.$ a^{2}-1 $
B.$ a^{2}+a $
C.$ a^{2}+a - 2 $
D.$ (a + 2)^{2}-2(a + 2)+1 $

答案： C

6. 如图是一个正方形,将它分成四部分,其面积分别是 $ a^{2},ab,ab,b^{2} $,则原正方形的边长是(B)

A.$ a^{2}+b^{2} $
B.$ a + b $
C.$ a - b $
D.$ a^{2}-b^{2} $

答案： B

7. 关于 $ x,y $ 的多项式 $ x^{2}-4xy + 5y^{2}+8y + 15 $ 的最小值为(A)
A.$ -1 $
B.$ 0 $
C.$ 1 $
D.$ 2 $

答案： A

8. 分解因式：
(1) $ 4x^{2}-20x + 25 $； (2) $ ax^{2}-4ax + 4a $；
(3) $ xy^{3}-2x^{2}y^{2}+x^{3}y $；
(4) $ (x^{2}+y^{2})^{2}-4x^{2}y^{2} $.

答案：
(1) $4x^{2}-20x + 25=(2x)^{2}-2×2x×5 + 5^{2}=(2x - 5)^{2}$
(2) $ax^{2}-4ax + 4a=a(x^{2}-4x + 4)=a(x^{2}-2× x×2 + 2^{2})=a(x - 2)^{2}$
(3) $xy^{3}-2x^{2}y^{2}+x^{3}y=xy(y^{2}-2xy + x^{2})=xy(x^{2}-2xy + y^{2})=xy(x - y)^{2}$
(4) $(x^{2}+y^{2})^{2}-4x^{2}y^{2}=(x^{2}+y^{2})^{2}-(2xy)^{2}=(x^{2}+y^{2}+2xy)(x^{2}+y^{2}-2xy)=(x + y)^{2}(x - y)^{2}$