《2025年长江全能学案同步练习册八年级数学上册人教版》

12. 先阅读下列材料,再解答问题.
材料：因式分解：$ (x + y)^{2}+2(x + y)+1 $.
解：将“$ x + y $”看成整体,设 $ x + y = m $,是原式 $ = m^{2}+2m + 1 = (m + 1)^{2} $,
再将 $ m = x + y $ 代入,得原式 $ = (x + y + 1)^{2} $.
上述解题用到的是“整体思想”,“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法.
请你利用上述方法进行因式分解：
(1) $ 1 - 2(x - y)+(x - y)^{2} $.
(2) $ 25(a - 1)^{2}-10(a - 1)+1 $.
(3) $ (y^{2}-4y)(y^{2}-4y + 8)+16 $.

答案：
(1) 设 $x - y = m$，
原式 $= 1 - 2m + m^{2}$
$= (m - 1)^{2}$
将 $m = x - y$ 代入，得
原式 $= (x - y - 1)^{2}$。
(2) 设 $a - 1 = n$，
原式 $= 25n^{2} - 10n + 1$
$= (5n - 1)^{2}$
将 $n = a - 1$ 代入，得
原式 $= (5a - 5 - 1)^{2} = (5a - 6)^{2}$。
(3) 设 $y^{2} - 4y = a$，
原式 $= a(a + 8) + 16$
$= a^{2} + 8a + 16$
$= (a + 4)^{2}$
将 $a = y^{2} - 4y$ 代入，得
原式 $= (y^{2} - 4y + 4)^{2} = (y - 2)^{4}$。

13. 阅读以下文字,解答问题.
对于二次三项式 $ x^{2}+2ax + a^{2} $ 这样的完全平方式,可以用公式法将它分解成 $ (x + a)^{2} $ 的形式,但是对于二次三项式 $ x^{2}+2ax - 3a^{2} $,就不能直接运用完全平方公式了,我们可以在二次三项式 $ x^{2}+2ax - 3a^{2} $ 中先加上一项 $ a^{2} $,使其成为完全平方式,再减去 $ a^{2} $ 这项,使整个式子的值不变,于是有 $ x^{2}+2ax - 3a^{2}= x^{2}+2ax + a^{2}-a^{2}-3a^{2}= (x + a)^{2}-4a^{2}= [(x + a)+2a][(x + a)-2a]= (x + 3a)(x - a) $.
(1) 像这样把二次三项式分解因式的方法是配方法；
(2) 用上述方法将下列各式分解因式：
① $ m^{2}-6m + 8 $； ② $ x^{4}+4 $.

答案：
(1) 配方法
(2) ① $m^{2}-6m + 8$
$=m^{2}-6m+9-9+8$
$=(m-3)^{2}-1^{2}$
$=(m-3+1)(m-3-1)$
$=(m-2)(m-4)$
② $x^{4}+4$
$=x^{4}+4x^{2}+4-4x^{2}$
$=(x^{2}+2)^{2}-(2x)^{2}$
$=(x^{2}+2+2x)(x^{2}+2-2x)$
$=(x^{2}+2x+2)(x^{2}-2x+2)$