《2025年长江全能学案同步练习册八年级数学上册人教版》

例1 如图15.3-5,在△ABC中,AB= AC,D是AB上的一点,过D作DE⊥BC于点E,并与CA的延长线交于点F. 求证：△ADF是等腰三角形.

答案： 证明：
∵AB=AC，
∴∠B=∠C（等边对等角）。
∵DE⊥BC，
∴∠DEB=∠DEC=90°。
在Rt△DEB中，∠BDE=90°-∠B；
在Rt△FEC中，∠F=90°-∠C。
∵∠B=∠C，
∴∠BDE=∠F。
∵∠BDE=∠FDA（对顶角相等），
∴∠F=∠FDA。
∴AF=AD（等角对等边）。
即△ADF是等腰三角形。

例2 如图15.3-6,在△ABC中,AB= AC,E为AB上一点,F为AC延长线上一点,且BE= CF,EF交BC于点D. 求证：DE= DF.

答案： 证明：过点E作EG//AC，交BC于点G。
∵EG//AC，
∴∠EGB=∠ACB（两直线平行，同位角相等）。
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB（等边对等角），
∴∠EGB=∠B，
∴EB=EG（等角对等边）。
∵BE=CF，
∴EG=CF。
∵EG//AC，
∴∠GED=∠F（两直线平行，内错角相等）。
在△EDG和△FDC中，
∠GED=∠F，
∠EDG=∠FDC（对顶角相等），
EG=CF，
∴△EDG≌△FDC（AAS），
∴DE=DF（全等三角形对应边相等）。

例3 如图15.3-7,在△ABC中,AC= BC,∠ACB= 90°,BD平分∠ABC,过点A作BD的延长线的垂线AE.

求证：BD= 2AE.

答案：
证明：如图15.3-8,延长AE,BC,两延长线交于点F.

∵ BE平分∠ABF,AE⊥BE,


∴ 可证得△ABF是等腰三角形.

∴ AF= 2AE.

∵ AE⊥BE,

∴ ∠F+∠DBC= 90°.

∵ ∠ACB= 90°,
∴ ∠CDB+∠DBC= 90°.

∴ ∠F= ∠CDB.
又
∵AC= BC,

∴ Rt△ACF≌Rt△BCD,
∴AF= BD.
又
∵AF= 2AE,

∴ BD= 2AE.