《2025年长江全能学案同步练习册八年级数学上册人教版》

例1 如图15.3-5,在△ABC中,AB= AC,D是AB上的一点,过D作DE⊥BC于点E,并与CA的延长线交于点F. 求证：△ADF是等腰三角形.

【思路导析】若证出∠F= ∠FDA,即可证明结论. 因为∠F+∠C= 90°,∠FDA= ∠BDE= 90°-∠B,又由AB= AC得∠B= ∠C,等量代换可证得∠F= ∠FDA.
【请你证明】

答案： 证明：
∵AB=AC，
∴∠B=∠C（等边对等角）。
∵DE⊥BC，
∴∠DEB=∠DEC=90°。
在Rt△DEB中，∠BDE=90°-∠B；
在Rt△FEC中，∠F=90°-∠C。
∵∠B=∠C，
∴∠BDE=∠F。
∵∠BDE=∠FDA（对顶角相等），
∴∠F=∠FDA。
∴AF=AD（等角对等边）。
即△ADF是等腰三角形。

例2 如图15.3-6,在△ABC中,AB= AC,E为AB上一点,F为AC延长线上一点,且BE= CF,EF交BC于点D. 求证：DE= DF.

【思路导析】若证DE= DF,可联想到点D是EF的中点,中点的两旁容易构造全等三角形,构造方法是过端点E或F作平行线.
【请你证明】

答案： 证明：过点E作EG//AC，交BC于点G。
∵EG//AC，
∴∠EGB=∠ACB（两直线平行，同位角相等）。
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB（等边对等角），
∴∠EGB=∠B，
∴EB=EG（等角对等边）。
∵BE=CF，
∴EG=CF。
∵EG//AC，
∴∠GED=∠F（两直线平行，内错角相等）。
在△EDG和△FDC中，
∠GED=∠F，
∠EDG=∠FDC（对顶角相等），
EG=CF，
∴△EDG≌△FDC（AAS），
∴DE=DF（全等三角形对应边相等）。

例3 如图15.3-7,在△ABC中,AC= BC,∠ACB= 90°,BD平分∠ABC,过点A作BD的延长线的垂线AE.

求证：BD= 2AE.
【思路导析】BE既是角平分线,又是高线,所以很容易由“三线合一”联想到延长AE与BC,两延长线交于点F,从而构造等腰三角形AFB,再结合等腰三角形的性质及三角形全等证明BD和AE的长度关系.
【示范解答】证明：如图15.3-8,延长AE,BC,两延长线交于点F.
∵ BE平分∠ABF,AE⊥BE,

∴ 可证得△ABF是等腰三角形.
∴ AF= 2AE.
∵ AE⊥BE,
∴ ∠F+∠DBC= 90°.
∵ ∠ACB= 90°,∴ ∠CDB+∠DBC= 90°.
∴ ∠F= ∠CDB.
又∵AC= BC,
∴ Rt△ACF≌Rt△BCD,∴AF= BD.
又∵AF= 2AE,
∴ BD= 2AE.

答案： 证明：延长AE，BC交于点F。
∵BE平分∠ABF，AE⊥BE，
∴∠ABE=∠FBE，∠AEB=∠FEB=90°。
在△ABE和△FBE中，
∠ABE=∠FBE，
BE=BE，
∠AEB=∠FEB，
∴△ABE≌△FBE(ASA)，
∴AE=FE，AB=FB，
∴AF=2AE。
∵AE⊥BE，
∴∠F+∠EBF=90°。
∵∠ACB=90°，
∴∠CDB+∠DBC=90°。
∵∠EBF=∠DBC，
∴∠F=∠CDB。
在△ACF和△BCD中，
∠F=∠CDB，
∠ACF=∠BCD=90°，
AC=BC，
∴△ACF≌△BCD(AAS)，
∴AF=BD。
∵AF=2AE，
∴BD=2AE。