《2025年长江全能学案同步练习册八年级数学上册人教版》

例 1 如图 14.1 - 1,已知$\triangle ABC\cong\triangle DCB$,指出所有的对应边和对应角。

【思路导析】(1)公共边 $BC$ 和 $CB$ 是对应边,它们所对的$\angle A和\angle D$是对应角,最短边 $AB$ 和 $DC$ 是对应边,它们所对的$\angle ACB和\angle DBC$是对应角。(2)对应顶点的夹边是对应边,对应边所对的角是对应角。

答案： 对应边：$AB$与$DC$，$BC$与$CB$，$AC$与$DB$；
对应角：$\angle A$与$\angle D$，$\angle ABC$与$\angle DCB$，$\angle ACB$与$\angle DBC$。

例 2 如图 14.1 - 2,已知$\triangle ABC\cong\triangle DEF$,$\triangle DEF$的周长为 $32\mathrm{cm}$,$DE = 9\mathrm{cm}$, $EF = 12\mathrm{cm}$,求$\triangle ABC$各边的长。

【思路导析】由$\triangle ABC\cong\triangle DEF$,知两个三角形的三边对应相等。

答案： 解：
∵△ABC≌△DEF，
∴AB=DE，BC=EF，AC=DF。
∵△DEF的周长为32cm，DE=9cm，EF=12cm，
∴DF=32 - DE - EF=32 - 9 - 12=11cm。
∴AB=DE=9cm，BC=EF=12cm，AC=DF=11cm。
即△ABC各边的长分别为AB=9cm，BC=12cm，AC=11cm。

例 3 如图 14.1 - 3,$A$,$D$,$E$三点在同一条直线上,且$\triangle BAD\cong\triangle ACE$,$AB$与 $CA$, $AD$与 $CE$是对应边。

(1)试说明 $BD = DE + CE$；
(2)$\triangle ABD$满足什么条件时,$BD// CE$？请说明理由。
【思路导析】(1)要说明 $BD = DE + CE$,而图中 $AD + DE = AE$,因此需说明 $AE = BD$,$CE = AD$。(2)要找$\triangle ABD$满足的条件,可将 $BD// CE$当作已知条件,再得出$\triangle ABD$中角或线段的关系。
【示范解答】(1)因为$\triangle BAD\cong\triangle ACE$,$BD$与 $AE$,$AD$与 $CE$是对应边,所以 $BD = AE$, $AD = CE$。
又因为 $AE = AD + DE$,所以 $AE = CE + DE$,所以 $BD = DE + CE$。
(2)当$\triangle ABD满足\angle ADB = 90^{\circ}$时,$BD// CE$。
理由：因为$\triangle BAD\cong\triangle ACE$,所以$\angle ADB = \angle CEA$。
若$\angle ADB = 90^{\circ}$,则$\angle CEA = 90^{\circ}$。
又因为$\angle ADB + \angle BDE = 180^{\circ}$,所以$\angle BDE = 90^{\circ}$。
所以$\angle BDE = \angle CED$,所以 $BD// CE$。

答案：
(1)因为$\triangle BAD\cong\triangle ACE$，且$BD$与$AE$，$AD$与$CE$是对应边，所以$BD=AE$，$AD=CE$。又因为$A$，$D$，$E$三点在同一条直线上，所以$AE=AD+DE$，因此$AE=CE+DE$，故$BD=DE+CE$。
(2)当$\triangle ABD$满足$\angle ADB=90^{\circ}$时，$BD// CE$。理由：因为$\triangle BAD\cong\triangle ACE$，所以$\angle ADB=\angle CEA$。若$\angle ADB=90^{\circ}$，则$\angle CEA=90^{\circ}$。由于$\angle ADB+\angle BDE=180^{\circ}$，所以$\angle BDE=180^{\circ}-\angle ADB=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}$，从而$\angle BDE=\angle CEA$，所以$BD// CE$（内错角相等，两直线平行）。