《2025年长江全能学案同步练习册八年级数学上册人教版》

例1 如图14.3-6,已知 $ PB \perp AB $,$ PC \perp AC $,且 $ PB = PC $,$ D $ 是 $ AP $ 上一点,求证：$ \angle BDP = \angle CDP $。

思路导析 要证明 $ \angle BDP = \angle CDP $,可先用“$ HL $”证明 $ \triangle ABP $ 与 $ \triangle ACP $ 全等,然后再证明 $ \triangle BDP $ 与 $ \triangle CDP $ 全等,从而证明两角相等。注意可以利用角平分线的判定证明。
请你证明

答案： 证明：
∵ $ PB \perp AB $，$ PC \perp AC $，
∴ $ \angle ABP = \angle ACP = 90^\circ $。
在 $ Rt\triangle ABP $ 和 $ Rt\triangle ACP $ 中，
$ \begin{cases} AP = AP \, (公共边) \\ PB = PC \, (已知) \end{cases} $，
∴ $ Rt\triangle ABP \cong Rt\triangle ACP \, (HL) $，
∴ $ \angle BPD = \angle CPD \, (全等三角形对应角相等) $。
在 $ \triangle BDP $ 和 $ \triangle CDP $ 中，
$ \begin{cases} PB = PC \, (已知) \\ \angle BPD = \angle CPD \, (已证) \\ PD = PD \, (公共边) \end{cases} $，
∴ $ \triangle BDP \cong \triangle CDP \, (SAS) $，
∴ $ \angle BDP = \angle CDP \, (全等三角形对应角相等) $。
结论：$ \angle BDP = \angle CDP $。

例2 如图14.3-7,在 $ \triangle ABC $ 中,$ BD = CD $,$ \angle 1 = \angle 2 $。求证：$ AD $ 平分 $ \angle BAC $。

思路导析 过 $ D $ 作 $ AB $,$ AC $ 的垂线,通过三角形全等证明两条垂线段相等,由角平分线的判定可知 $ AD $ 平分 $ \angle BAC $。
请你证明

答案： 过点 $D$ 作 $DE \perp AB$ 于点 $E$，作 $DF \perp AC$ 于点 $F$。
因为$\angle BED = \angle CFD = 90^\circ$。
在$\triangle BED$和$\triangle CFD$中，
$\begin{cases}\angle BED = \angle CFD, \\ \angle 1 = \angle 2, \\BD = CD.\end{cases}$
所以$\triangle BED \cong \triangle CFD (AAS)$，
所以$DE = DF$，
因为$DE \perp AB$，$DF \perp AC$，且 $DE = DF$，
所以$AD$ 平分 $\angle BAC$。

例3 如图14.3-8,在 $ \triangle ABC $ 中,试证明：

(1)若 $ AD $ 为 $ \angle BAC $ 的平分线,则 $ S_{\triangle ABD} : S_{\triangle ACD} = AB : AC $；
(2)设 $ D $ 为 $ BC $ 上的一点,连接 $ AD $。若 $ S_{\triangle ABD} : S_{\triangle ACD} = AB : AC $,则 $ AD $ 为 $ \angle BAC $ 的平分线。
思路导析 过点 $ D $ 作 $ AB $ 和 $ AC $ 的垂线段,则两条线段分别为 $ \triangle ABD $ 和 $ \triangle ACD $ 的边 $ AB $ 和 $ AC $ 上的高,若 $ AD $ 为 $ \angle BAC $ 的平分线,则两条垂线段相等,所以三角形的面积比等于底边的比,反之亦然。
示范证明 (1)过点 $ D $ 作 $ DE \perp AB $ 于点 $ E $,$ DF \perp AC $ 于点 $ F $。

$ \because AD $ 平分 $ \angle BAC $,且 $ DE \perp AB $,$ DF \perp AC $,
$ \therefore DE = DF $,
$ \therefore S_{\triangle ABD} : S_{\triangle ACD} = \left( \frac{1}{2} AB \cdot DE \right) : \left( \frac{1}{2} AC \cdot DF \right) = AB : AC $。
(2)$ \because S_{\triangle ABD} : S_{\triangle ACD} = \left( \frac{1}{2} AB \cdot DE \right) : \left( \frac{1}{2} AC \cdot DF \right) = AB : AC $,
$ \therefore DE = DF $。
又 $ \because DE \perp AB $,$ DF \perp AC $,
$ \therefore AD $ 平分 $ \angle BAC $,即 $ AD $ 为 $ \angle BAC $ 的平分线。

答案：
(1)
过点$D$作$DE\perp AB$于点$E$，$DF\perp AC$于点$F$。
$\because AD$平分$\angle BAC$，且$DE\perp AB$，$DF\perp AC$，
$\therefore DE = DF$，
$\therefore S_{\triangle ABD}:S_{\triangle ACD}=\left(\frac{1}{2}AB\cdot DE\right):\left(\frac{1}{2}AC\cdot DF\right)=AB:AC$。
(2)
过点$D$作$DE\perp AB$于点$E$，$DF\perp AC$于点$F$。
$\because S_{\triangle ABD}:S_{\triangle ACD}=\left(\frac{1}{2}AB\cdot DE\right):\left(\frac{1}{2}AC\cdot DF\right)=AB:AC$，
$\therefore DE = DF$。
又$\because DE\perp AB$，$DF\perp AC$，
$\therefore AD$平分$\angle BAC$，即$AD$为$\angle BAC$的平分线。