《2025年长江全能学案同步练习册八年级数学上册人教版》

7. 如图,在△ABC中,∠ABC= 45°,点D是BC边上一动点(与点B,C不重合),点E与点D关于直线AC对称,连接AE,过点B作BF⊥ED的延长线于点F。
(1)依题意补全图形；
(2)当AE= BD时,试证明ED= 2BF。

答案：
(1) 补全图形步骤：过点D作AC的垂线，垂足为O，延长DO至E使OE=OD，连接AE；延长ED，过点B作BF⊥ED延长线于F。
(2) 证明：
∵E与D关于AC对称，
∴AC垂直平分DE，
∴AE=AD，DO=OE（即ED=2DO），∠AOD=90°。
∵AE=BD，
∴AD=BD。
在△ABD中，AD=BD，∠ABD=45°，
∴∠BAD=45°，∠ADB=180°-45°-45°=90°，即AD⊥BC，∠ADC=90°。
设∠C=α，在Rt△ADC中，∠CAD=90°-α。
在Rt△AOD中，∠ADO=90°-∠CAD=α，
∴∠BDO=∠ADB-∠ADO=90°-α=∠CAD。
∵BF⊥EF，
∴∠F=90°=∠AOD。
在△BDF和△DAO中，∠BDF=∠DAO，∠F=∠AOD，BD=AD，
∴△BDF≌△DAO(AAS)，
∴BF=DO。
∵ED=2DO，
∴ED=2BF。
结论：ED=2BF。