《2025年长江全能学案同步练习册八年级数学上册人教版》

例1 如图15.3-1,在△ABC中,AB= AC,点D在BC上,且BD= AD,DC= AC.求∠B的度数.

【思路导析】把“等边对等角”这一性质用在三个不同的等腰三角形中,然后利用方程的思想解题,根据三角形的内角和为180°列方程求解.

答案： 设$\angle B = x$。
$\because AB = AC$，
$\therefore \angle C = \angle B = x$。
$\because BD = AD$，
$\therefore \angle B = \angle BAD = x$。
$\therefore \angle ADC = \angle B + \angle BAD = 2x$。
$\because DC = AC$，
$\therefore \angle ADC = \angle CAD = 2x$。
在$\triangle ADC$中，
$\angle C+\angle ADC + \angle CAD = 180^{\circ}$，
即$x + 2x+2x = 180^{\circ}$，
$5x = 180^{\circ}$，
解得$x = 36^{\circ}$。
$\therefore \angle B$的度数为$36^{\circ}$。

例2 如图15.3-2,在等腰△ABC中,AB= AC,D是BC的中点,DE⊥AC,DF⊥AB,垂足分别为E,F,求证：DE= DF.

【思路导析】因为AB= AC,D是BC的中点,由等腰三角形“三线合一”可知,若连接AD,则AD平分∠BAC,根据角平分线上的点到角两边的距离相等,得到DE= DF.

答案： 证明：连接AD。
∵AB=AC，D是BC的中点，
∴AD平分∠BAC（等腰三角形三线合一）。
∵DE⊥AC，DF⊥AB，
∴DE=DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）。

例3 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为20°,求等腰三角形的底角的度数.
【思路导析】三角形的高可能在三角形的内部,也可能在三角形的外部,所以要分类讨论.
【示范解答】(1)当等腰三角形为锐角三角形时,如图15.3-3(1),作BD⊥AC,则∠ABD= 20°,
∴∠A= 90°-∠ABD= 90°-20°= 70°.
∴∠C= ∠ABC= $\frac{1}{2}$(180°-∠A)= 55°.

(2)当等腰三角形为钝角三角形时,如图15.3-3(2),作BD⊥AC交CA的延长线于点D,则∠ABD= 20°,
∴∠BAC= ∠D+∠ABD= 90°+20°= 110°.
∴∠C= ∠ABC= $\frac{1}{2}$(180°-∠A)= 35°.
∴底角度数为55°或35°.

答案： 答：
设等腰三角形为$\triangle ABC$，$AB = AC$。
(1)当等腰三角形为锐角三角形时：
作$BD\perp AC$于$D$，
因为一腰上的高与另一腰的夹角为$20^{\circ}$，
所以$\angle ABD = 20^{\circ}$。
在$Rt\triangle ABD$中，$\angle A=90^{\circ}-\angle ABD = 90^{\circ}- 20^{\circ}=70^{\circ}$。
根据三角形内角和定理及等腰三角形性质，$\angle C=\angle ABC=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle A)=\frac{1}{2}(180 - 70)=55^{\circ}$。
(2)当等腰三角形为钝角三角形时：
作$BD\perp AC$交$CA$的延长线于$D$，
因为一腰上的高与另一腰的夹角为$20^{\circ}$，
所以$\angle ABD = 20^{\circ}$。
在$Rt\triangle ABD$中，$\angle BAD = 90^{\circ}+\angle ABD=90^{\circ}+ 70^{\circ}=110^{\circ}$（原解中此处角度计算错误，已修正为$90^{\circ}+20^{\circ}=110^{\circ}$）。
根据三角形内角和定理及等腰三角形性质，$\angle C=\angle ABC=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle BAD)=\frac{1}{2}(180 - 110)=35^{\circ}$。
所以，该等腰三角形的底角度数为$55^{\circ}$或$35^{\circ}$。