《2025年长江全能学案同步练习册八年级数学上册人教版》

例1 计算：
(1)$(a + 3b)^2$；
(2)$(-x + 3y)^2$；
(3)$(-m - n)^2$；
(4)$(2x + 3)(-2x - 3)$.
【思路导析】当所给二项式中两项的符号相同时,一般选用“和”的完全平方公式；当二项式中两项的符号相反时,一般选用“差”的完全平方公式.

答案：
(1)
根据和的完全平方公式$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，在$(a + 3b)^2$中$a$相当于公式中的$a$，$3b$相当于公式中的$b$，则：
$(a + 3b)^2=a^2+2× a×3b+(3b)^2=a^2 + 6ab + 9b^2$
(2)
$(-x + 3y)^2$可看作$(3y - x)^2$，根据差的完全平方公式$(a - b)^2=a^2-2ab + b^2$，这里$a = 3y$，$b = x$，则：
$(-x + 3y)^2=(3y - x)^2=(3y)^2-2×3y× x+x^2 = 9y^2-6xy + x^2$
(3)
$(-m - n)^2$可看作$[-(m + n)]^2=(m + n)^2$，根据和的完全平方公式$(a + b)^2=a^2+2ab + b^2$，这里$a = m$，$b = n$，则：
$(-m - n)^2=(m + n)^2=m^2+2mn + n^2$
(4)
$(2x + 3)(-2x - 3)=-(2x + 3)(2x + 3)=-(2x + 3)^2$
根据和的完全平方公式$(a + b)^2=a^2+2ab + b^2$，这里$a = 2x$，$b = 3$，则：
$-(2x + 3)^2=-[(2x)^2+2×2x×3+3^2]=-(4x^2 + 12x + 9)=-4x^2-12x - 9$
综上，答案依次为：
(1)$a^2 + 6ab + 9b^2$；
(2)$x^2-6xy + 9y^2$；
(3)$m^2+2mn + n^2$；
(4)$-4x^2-12x - 9$。

例2 计算：(1)$9999^2$；(2)$1002^2$.
【思路导析】根据数的特征,将底数化成一个大整数与一个小整数的和或差的形式,然后再利用完全平方公式进行运算.

答案：
(1) $9999^2=(10000 - 1)^2$
$=10000^2 - 2×10000×1 + 1^2$
$=100000000 - 20000 + 1$
$=99980001$
(2) $1002^2=(1000 + 2)^2$
$=1000^2 + 2×1000×2 + 2^2$
$=1000000 + 4000 + 4$
$=1004004$

例3 已知$x + y = 4$,$xy = 2$,试求：
(1)$x^2 + y^2$的值；(2)$3x^2 - xy + 3y^2$的值.
【思路导析】因为$x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy$,代入已知数值即可求值；(2)把$3x^2 - xy + 3y^2用(x + y)和xy$表示,再求值.
【示范解答】(1)$\because (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$,
$\therefore x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy$.
当$x + y = 4$,$xy = 2$时,$x^2 + y^2 = 4^2 - 2×2 = 12$.
(2)$3x^2 - xy + 3y^2 = 3(x^2 + y^2) - xy = 3×12 - 2 = 34$.

答案：
(1) $\because (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$，
$\therefore x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy$。
当$x + y = 4$，$xy = 2$时，
$x^2 + y^2 = 4^2 - 2×2 = 16 - 4 = 12$。
(2) $3x^2 - xy + 3y^2 = 3(x^2 + y^2) - xy$，
由
(1)知$x^2 + y^2 = 12$，
$\therefore 3×12 - 2 = 36 - 2 = 34$。

将如图16.3 - 2所示的大正方形分成2个不同的小正方形和2个相同的小长方形.

(1)请用两种不同的方法表示大正方形的面积；
方法1：$(a+b)^2$；
方法2：$a^2 + 2ab + b^2$.
(2)由(1)可验证的乘法公式是$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.(用等式表示)

答案：
(1) 方法1：$(a+b)^2$；
方法2：$a^2 + 2ab + b^2$。
(2)$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$。