《2025年长江全能学案同步练习册八年级数学上册人教版》

知识点一 最短路径问题
例 1 如图 1,直线 $ l $ 外有不重合的两点 $ A $,$ B $,在直线 $ l $ 上求作一点 $ C $,使得 $ AC + BC $ 的长度最小,作法如下：

①作点 $ B $ 关于直线 $ l $ 的对称点 $ B' $；
②连接 $ AB' $ 与直线 $ l $ 相交于点 $ C $,则点 $ C $ 为所求作的点。
在解决这个问题时没有运用到的知识或思想方法是(D)
A.转化思想
B.三角形的两边之和大于第三边
C.两点之间,线段最短
D.三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角

答案： D

例 2 如图 2,$ A $、$ B $ 两地在一条河的两岸,现要在河上造一座桥 $ MN $,使从 $ A $ 到 $ B $ 的路径 $ AMNB $ 最短的是选项中的(假定河的两岸是平行直线,桥要与河岸垂直)(D)
【思路导析】解题关键是利用平移,将问题转化为“两点之间,线段最短”的问题。

答案： D

例 3 如图 3,点 $ P $ 是 $ \angle AOB $ 内任意一点,$ OP = 5\ cm $,点 $ M $ 和点 $ N $ 分别是射线 $ OA $ 和射线 $ OB $ 上的动点,$ \triangle PMN $ 的周长的最小值是 $ 5\ cm $,则 $ \angle AOB $ 的度数是(B)
A.$ 25^{\circ} $

B.$ 30^{\circ} $
C.$ 35^{\circ} $
D.$ 40^{\circ} $

答案： B