《2025年长江全能学案同步练习册八年级数学上册人教版》

知识点一 最短路径问题
例 1 如图 1,直线 $ l $ 外有不重合的两点 $ A $,$ B $,在直线 $ l $ 上求作一点 $ C $,使得 $ AC + BC $ 的长度最小,作法如下：

①作点 $ B $ 关于直线 $ l $ 的对称点 $ B' $；
②连接 $ AB' $ 与直线 $ l $ 相交于点 $ C $,则点 $ C $ 为所求作的点。
在解决这个问题时没有运用到的知识或思想方法是(D)
A.转化思想
B.三角形的两边之和大于第三边
C.两点之间,线段最短
D.三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角
【思路导析】利用“两点之间,线段最短”来求解最短路径问题,体现了转化思想。验证是不是最短路径时利用了三角形的两边之和大于第三边。

答案： D

例 2 如图 2,$ A $、$ B $ 两地在一条河的两岸,现要在河上造一座桥 $ MN $,使从 $ A $ 到 $ B $ 的路径 $ AMNB $ 最短的是选项中的(假定河的两岸是平行直线,桥要与河岸垂直)(D)
【思路导析】解题关键是利用平移,将问题转化为“两点之间,线段最短”的问题。

答案： D

例 3 如图 3,点 $ P $ 是 $ \angle AOB $ 内任意一点,$ OP = 5\ cm $,点 $ M $ 和点 $ N $ 分别是射线 $ OA $ 和射线 $ OB $ 上的动点,$ \triangle PMN $ 的周长的最小值是 $ 5\ cm $,则 $ \angle AOB $ 的度数是(B)
A.$ 25^{\circ} $

B.$ 30^{\circ} $
C.$ 35^{\circ} $
D.$ 40^{\circ} $
【思路导析】分别作点 $ P $ 关于 $ OA $,$ OB $ 的对称点 $ D $,$ C $,连接 $ CD $,分别交 $ OA $,$ OB $ 于点 $ M $,$ N $,连接 $ OC $,$ OD $,如图 4 所示。

∵点 $ P $ 关于 $ OA $ 的对称点为点 $ D $,
∴$ PM = DM $,$ OP = OD $,$ \angle DOA = \angle POA $。
∵点 $ P $ 关于 $ OB $ 的对称点为点 $ C $,
∴$ PN = CN $,$ OP = OC $,$ \angle COB = \angle POB $。
∴$ OC = OP = OD $,$ \angle AOB = \frac{1}{2} \angle COD $。
∵$ \triangle PMN $ 的周长的最小值是 $ 5\ cm $,
∴$ PM + PN + MN = 5 $。
∴$ DM + CN + MN = 5 $,
即 $ CD = 5 = OP $。
∴$ OC = OD = CD = 5 $,
即 $ \triangle OCD $ 是等边三角形。
∴$ \angle COD = 60^{\circ} $。
∴$ \angle AOB = 30^{\circ} $。
【示范解答】B

答案： B