《2025年长江全能学案同步练习册八年级数学上册人教版》

例1 下列由左到右的变形,哪些是因式分解,哪些不是？请说明理由.
(1)$a(x + y) = ax + ay$；
(2)$x^{2}+2xy + y^{2}-1 = x(x + 2y)+(y + 1)(y - 1)$；
(3)$ax^{2}-9a = a(x + 3)(x - 3)$；
(4)$x^{2}+2+\frac{1}{x^{2}}= (x+\frac{1}{x})^{2}$.
【思路导析】因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式.依据定义从对象和结果两个方面去判断.

答案：
(1)不是，理由：该变形是整式乘法，从整式积的形式化为多项式，与因式分解方向相反。
(2)不是，理由：结果未化成几个整式积的形式，右边是多项式与整式积的和。
(3)是，理由：左边是多项式，右边化成了整式$a$、$(x + 3)$、$(x - 3)$的积的形式。
(4)不是，理由：$\frac{1}{x^{2}}$和$\frac{1}{x}$不是整式，不符合因式分解中“整式”的要求。

例2 指出下列多项式各项的公因式：
(1)$3a^{2}y - 3ay + by$；
(2)$4xy^{3}-8x^{3}y^{2}$；
(3)$a(x - y)^{3}+b(x - y)^{2}+(x - y)^{3}$；
(4)$-27a^{2}b^{3}+36a^{3}b^{2}+9a^{2}b$.
【思路导析】紧扣公因式的定义求解.

答案：
(1) 各项系数的最大公约数是1，各项都含有的字母是y，y的最低次数是1，公因式是y。
(2) 各项系数的最大公约数是4，各项都含有的字母是x、y，x的最低次数是1，y的最低次数是2，公因式是4xy²。
(3) 把(x - y)看作一个整体，各项都含有的因式是(x - y)²，公因式是(x - y)²。
(4) 各项系数的最大公约数是9，各项都含有的字母是a、b，a的最低次数是2，b的最低次数是1，首项系数为负，公因式是-9a²b。

例3 分解因式：
(1)$75x^{3}y^{5}-35x^{2}y^{4}$；
(2)$-10m^{4}n^{2}-8m^{4}n - 2m^{3}n$；
(3)$\frac{1}{4}a^{3}b^{2}-2a^{2}b^{3}$；
(4)$4x^{n + 1}-12x^{n}+32x^{n - 1}$.
【思路导析】用提公因式法分解因式.注意首项有“$-$”号的要把“$-$”号提出来.

答案：
(1)
$75x^{3}y^{5}-35x^{2}y^{4}$
$=5x^{2}y^{4}(15xy - 7)$
(2)
$-10m^{4}n^{2}-8m^{4}n - 2m^{3}n$
$=-2m^{3}n(5mn + 4m+1)$
(3)
$\frac{1}{4}a^{3}b^{2}-2a^{2}b^{3}$
$=\frac{1}{4}a^{2}b^{2}(a - 8b)$
(4)
$4x^{n + 1}-12x^{n}+32x^{n - 1}$
$=4x^{n - 1}(x^{2}-3x + 8)$

例4 把下列各式分解因式：
(1)$m(a - 3)+2(3 - a)$；
(2)$4x(x - y)^{2}-12(x - y)^{3}$；
(3)$(m - n)^{4}+m(m - n)^{3}+n(n - m)^{2}$.
【思路导析】(1)将多项式中的$a - 3变成3 - a$,或将$3 - a变成a - 3$,确定公因式后再提公因式.(2)将$x - y$当作一个整体,其公因式为$4(x - y)^{2}$.(3)将多项式中的$m - n变成n - m$,或将$n - m变成m - n$,提公因式$(m - n)^{2}或(n - m)^{2}$,然后进行因式分解.
【示范解答】(1)$m(a - 3)+2(3 - a)= m(a - 3)-2(a - 3)= (a - 3)(m - 2)$；
(2)$4x(x - y)^{2}-12(x - y)^{3}= 4(x - y)^{2}[x - 3(x - y)]= 4(x - y)^{2}(3y - 2x)$；
(3)$(m - n)^{4}+m(m - n)^{3}+n(n - m)^{2}= (m - n)^{4}+m(m - n)^{3}+n(m - n)^{2}= (m - n)^{2}[(m - n)^{2}+m(m - n)+n]= (m - n)^{2}(2m^{2}-3mn + n^{2}+n)$.

答案：
(1)
$m(a - 3)+2(3 - a)$
$=m(a - 3)-2(a - 3)$
$=(a - 3)(m - 2)$
(2)
$4x(x - y)^{2}-12(x - y)^{3}$
$=4(x - y)^{2}[x - 3(x - y)]$
$=4(x - y)^{2}(x - 3x + 3y)$
$=4(x - y)^{2}(3y - 2x)$
(3)
$(m - n)^{4}+m(m - n)^{3}+n(n - m)^{2}$
$=(m - n)^{4}+m(m - n)^{3}+n(m - n)^{2}$
$=(m - n)^{2}[(m - n)^{2}+m(m - n)+n]$
$=(m - n)^{2}(m^{2}-2mn + n^{2}+m^{2}-mn + n)$
$=(m - n)^{2}(2m^{2}-3mn + n^{2}+n)$