《2025年长江全能学案同步练习册八年级数学上册人教版》

1. 如图,根据图中条件能判定三角形是等边三角形的是 ②③⑤⑥。(填序号)

答案： ②③⑤⑥

2. 如图,等边△ABC的边长如图所示,那么y = 3。

答案： 因为$\triangle ABC$是等边三角形，
所以$AB = BC = AC$。
则$2x + 3 = 6 - x$，
移项可得$2x+x=6 - 3$，
即$3x = 3$，
解得$x = 1$。
又因为$AB = AC$，
所以$2x + 3 = 2y - 1$，
把$x = 1$代入$2x + 3 = 2y - 1$中，
得到$2×1+3 = 2y - 1$，
即$5 = 2y - 1$，
移项可得$2y=5 + 1$，
$2y = 6$，
解得$y = 3$。
故答案为$3$。

3. 如图,已知直线$l_1 // l_2$,将等边三角形如图放置。若∠α = 40°,则∠β = 20°。

答案： 过等边三角形的60°角顶点作l₁的平行线，由l₁//l₂知该线也平行于l₂。根据平行线性质，∠α与∠β分别等于所作平行线与三角形两边形成的内错角，且这两个内错角之和等于60°。
∠α + ∠β = 60°
∠β = 60° - ∠α = 60° - 40° = 20°
20°

4. 如图,在等边△ABC的边BC上任取一点D,作∠ADE = 60°,DE交∠ACB的外角平分线于点E,则△ADE是 等边三角形。

答案： 解答过程：
1. 等边三角形性质与外角平分线

∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠B=∠ACB=60°，AB=BC=AC。
延长BC至F，∠ACF为∠ACB的外角，
∴∠ACF=180°-∠ACB=120°。

∵CE平分∠ACF，
∴∠ACE=∠ECF=60°，故∠DCE=∠ACB+∠ACE=60°+60°=120°。
2. 角度关系推导
设∠BAD=α，则∠DAC=∠BAC-∠BAD=60°-α。
在△ABD中，∠ADC=∠B+∠BAD=60°+α（三角形外角性质）。

∵∠ADE=60°，
∴∠CDE=∠ADC-∠ADE=（60°+α）-60°=α，即∠CDE=∠BAD=α。
3. 构造全等三角形
在AB上截取BG=BD，连接GD。

∵∠B=60°，BG=BD，
∴△BGD是等边三角形，
∴BG=BD=GD，∠BGD=60°，∠AGD=180°-∠BGD=120°。

∵AB=BC，BG=BD，
∴AG=AB-BG=BC-BD=DC。
4. 证明△AGD≌△DCE
在△AGD和△DCE中：
∠GAD=∠CDE（已证α），
AG=DC（已证），
∠AGD=∠DCE=120°（已证），

∴△AGD≌△DCE（ASA），
∴AD=DE。
5. 判定△ADE为等边三角形

∵AD=DE，∠ADE=60°，
∴△ADE是等边三角形。
结论：等边

5. 将含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置,已知∠α = 60°,点B,C表示的刻度分别为1 cm,3 cm,则线段AB的长为2cm。

答案： 2

6. 如图所示的是某种落地灯的简易示意图,AB为立杆,BC为支杆,可绕点B旋转,DE为悬杆,滑动悬杆可调节CD的长度。为了使落地灯更方便学习时的照明,小唯将该落地灯进行了调整,使悬杆CD部分的长度与支杆BC的长度相等,且∠BCE = 120°。若CD的长为50 cm,则此时B,D两点之间的距离为50cm。

答案：
∵DE为悬杆，C为悬杆上一点，
∴D、C、E三点共线，即∠BCE与∠BCD互为邻补角。
∵∠BCE=120°，
∴∠BCD=180°-∠BCE=180°-120°=60°。
∵CD=BC=50cm，
∴△BCD中，BC=CD，∠BCD=60°。
∴△BCD是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）。
∴BD=BC=50cm。
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7. 如图,△ABC是等边三角形,DE // BC,分别交AB,AC于点D,E,点P为线段AE上任意一点。若∠DPE = 80°,则∠PDE的度数为(B)

A.20°
B.40°
C.60°
D.100°

答案： B