《2025年长江全能学案同步练习册八年级数学上册人教版》

10. 分解因式：
(1)$21xy - 14xz + 35x^{2}$；
(2)$(2a + b)(3a - 2b)-4a(2a + b)$；
(3)$a^{2}(x - 2a)^{2}-a(2a - x)^{2}$；
(4)$(a - b)^{2}(m + n)-(-m - n)(b - a)$.

答案：
(1) $21xy - 14xz + 35x^{2}$
$=7x \cdot 3y - 7x \cdot 2z + 7x \cdot 5x$
$=7x(3y - 2z + 5x)$
(2) $(2a + b)(3a - 2b)-4a(2a + b)$
$=(2a + b)[(3a - 2b) - 4a]$
$=(2a + b)(3a - 2b - 4a)$
$=(2a + b)(-a - 2b)$
$=-(2a + b)(a + 2b)$
(3) $a^{2}(x - 2a)^{2}-a(2a - x)^{2}$
$=a^{2}(x - 2a)^{2}-a(x - 2a)^{2}$
$=a(x - 2a)^{2}(a - 1)$
(4) $(a - b)^{2}(m + n)-(-m - n)(b - a)$
$=(a - b)^{2}(m + n)+(m + n)(b - a)$
$=(m + n)[(a - b)^{2}-(a - b)]$
$=(m + n)(a - b)(a - b - 1)$

11. 观察下列因式分解的过程,说说你发现了什么.
把多项式$am + an + bm + bn$分解因式.
解法1：$am + an + bm + bn= (am + an)+(bm + bn)= a(m + n)+b(m + n)= (m + n)(a + b)$.
解法2：$am + an + bm + bn= (am + bm)+(an + bn)= m(a + b)+n(a + b)= (a + b)(m + n)$.
根据你的发现,把下面的多项式分解因式：
(1)$mx - my + nx - ny$；
(2)$2a + 4b - 3ma - 6mb$.

答案：
(1)
$\begin{aligned}mx - my + nx - ny \\= (mx - my) + (nx - ny) \\= m(x - y) + n(x - y) \\= (x - y)(m + n)\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}2a + 4b - 3ma - 6mb \\= (2a + 4b) - (3ma + 6mb) \\= 2(a + 2b) - 3m(a + 2b) \\= (a + 2b)(2 - 3m)\end{aligned}$

12. 先阅读下列因式分解的过程,再回答所提出的问题：
$1 + x + x(x + 1)+x(x + 1)^{2}= (1 + x)[1 + x + x(x + 1)]= (1 + x)^{2}(1 + x)= (1 + x)^{3}$.
(1)上述分解因式的方法是提公因式法,共应用了2次；
(2)分解因式$1 + x + x(x + 1)+x(x + 1)^{2}+… + x(x + 1)^{10}$需应用上述方法10次,结果是$(1 + x)^{11}$,请写出推理过程；
(3)计算：$1 + x + x(x + 1)+x(x + 1)^{2}+… + x(x + 1)^{2024}= $$(1 + x)^{2025}$.

答案：
(1)
提公因式法；$2$
(2)
$10$；$(1 + x)^{11}$
推理过程：
$1 + x + x(x + 1)+x(x + 1)^{2}+\cdots + x(x + 1)^{10}$
$=(1 + x)[1 + x + x(x + 1)+x(x + 1)^{2}+\cdots + x(x + 1)^{9}]$
$=(1 + x)^{2}[1 + x + x(x + 1)+\cdots + x(x + 1)^{8}]$
$\cdots$
$=(1 + x)^{10}(1 + x)=(1 + x)^{11}$
(3)
$(1 + x)^{2025}$

13. 已知$a$,$b$,$x$,$y满足a + b = x + y = 3$,$ax + by = 7$,求：
(1)$ay + bx$的值；
(2)$(a^{2}+b^{2})xy + ab(x^{2}+y^{2})$的值.

答案：
(1)
∵a + b = 3，x + y = 3，
∴(a + b)(x + y)=3×3=9.
又
∵(a + b)(x + y)=ax + ay + bx + by=(ax + by)+(ay + bx)，且ax + by=7，
∴7 + (ay + bx)=9，
∴ay + bx=2.
(2)(a² + b²)xy + ab(x² + y²)=a²xy + b²xy + abx² + aby²=(a²xy + abx²)+(b²xy + aby²)=ax(ay + bx)+by(bx + ay)=(ax + by)(ay + bx).
∵ax + by=7，ay + bx=2，
∴原式=7×2=14.
(1)2；
(2)14.