《2025年长江全能学案同步练习册八年级数学上册人教版》

9. (1) 已知 $ x - 1 = \sqrt{3} $,求代数式 $ (x + 1)^{2}-4(x + 1)+4 $ 的值；
(2) 已知 $ a + b = 3 $,$ ab = 2 $,求代数式 $ a^{3}b + 2a^{2}b^{2}+ab^{3} $ 的值.

答案：
(1)
首先，对代数式$(x + 1)^{2}-4(x + 1)+4$进行因式分解：
$(x + 1)^{2}-4(x + 1)+4=[(x + 1)-2]^{2}=(x - 1)^{2}$
然后，将$x - 1 = \sqrt{3}$代入$(x - 1)^{2}$：
$(x - 1)^{2}=(\sqrt{3})^{2}=3$
(2)
首先，对代数式$a^{3}b + 2a^{2}b^{2}+ab^{3}$进行因式分解：
$a^{3}b + 2a^{2}b^{2}+ab^{3}=ab(a^{2}+2ab + b^{2})=ab(a + b)^{2}$
然后，将$a + b = 3$，$ab = 2$代入$ab(a + b)^{2}$：
$ab(a + b)^{2}=2×3^{2}=2×9 = 18$
综上，
(1)的答案是3；
(2)的答案是18。

10. 若 $ a,b,c $ 是 $ \triangle ABC $ 的三边长,判断 $ (a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}-4a^{2}b^{2} $ 的正负.

答案： (a² + b² - c²)² - 4a²b²
= [(a² + b² - c²) - 2ab][(a² + b² - c²) + 2ab]
= [(a - b)² - c²][(a + b)² - c²]
= (a - b - c)(a - b + c)(a + b - c)(a + b + c)
∵a,b,c是△ABC的三边长，
∴a + b + c ＞ 0，
a + b - c ＞ 0（两边之和大于第三边），
a - b + c = (a + c) - b ＞ 0（两边之和大于第三边），
a - b - c = a - (b + c) ＜ 0（两边之和大于第三边，故两边之差小于第三边）。
四个因式中，只有(a - b - c)为负，其余为正，
∴原式 = (负数)×(正数)×(正数)×(正数) = 负数。
结论：原式为负。

11. 十字相乘法：先分解二次项系数,分别写在十字交叉线的左上角和左下角,再分解常数项,分别写在十字交叉线的右上角和右下角,然后交叉相乘,求代数和,使其等于一次项系数.如：将式子 $ x^{2}+3x + 2 $ 和 $ 2x^{2}+x - 3 $ 分解因式,如图：

所以 $ x^{2}+3x + 2 = (x + 1)(x + 2) $,$ 2x^{2}+x - 3 = (x - 1)(2x + 3) $.
请你用十字相乘法将下列多项式分解因式：
(1) $ x^{2}+5x + 6 $；
(2) $ 2x^{2}-7x + 3 $；
(3) $ x^{2}+(2 - m)x - 2m $.

答案：
(1)
```
1 2
1 3
```
$1×3 + 1×2 = 5$，所以$x^{2}+5x + 6=(x + 2)(x + 3)$。
(2)
```
1 -3
2 -1
```
$1×(-1) + 2×(-3) = -7$，所以$2x^{2}-7x + 3=(x - 3)(2x - 1)$。
(3)
```
1 -m
1 2
```
$1×2 + 1×(-m) = 2 - m$，所以$x^{2}+(2 - m)x - 2m=(x - m)(x + 2)$。