《2025年长江全能学案同步练习册八年级数学上册人教版》

12. 在一个三角形中,如果一个内角是另一个内角的3倍,这样的三角形我们称之为“三倍角三角形”,例如,三个内角分别为$120^{\circ}$,$40^{\circ}$,$20^{\circ}$的三角形是“三倍角三角形”。
(1)在$\triangle ABC$中,$\angle A = 35^{\circ}$,$\angle B = 40^{\circ}$,$\triangle ABC$是“三倍角三角形”吗？为什么？
(2)若$\triangle ABC$是“三倍角三角形”,且$\angle B = 60^{\circ}$,求$\triangle ABC$中最小内角的度数。

答案：
(1)是。
∵∠A=35°，∠B=40°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-35°-40°=105°。
∵105°=3×35°，即∠C=3∠A，
∴△ABC是“三倍角三角形”。
(2)设∠A+∠C=180°-∠B=120°，分情况讨论：
情况1：若∠B=3∠A，则∠A=60°÷3=20°，∠C=120°-20°=100°，此时最小内角为20°；
情况2：若∠C=3∠A，设∠A=x，则∠C=3x，x+3x=120°，x=30°，此时最小内角为30°。
综上，最小内角的度数为20°或30°。

13. 如图1,在$\triangle ABC$中,$\angle B ＜ \angle C$,$AD平分\angle BAC$,$E为AD$(不与点$A$,$D$重合)上的一动点,$EF \perp BC于点F$。
(1)若$\angle B = 40^{\circ}$,$\angle DEF = 20^{\circ}$,求$\angle C$的度数；
(2)如图2,在$\triangle ABC$中,$\angle B ＜ \angle C$,$AD平分\angle BAC$,$E为AD$上一点,$EF \perp AD交BC的延长线于点F$,$\angle ACB = m^{\circ}$,$\angle B = n^{\circ}$,求$\angle F$的度数(用含$m$,$n$的式子表示)。

答案：
(1)
因为$EF\perp BC$，$\angle DEF = 20^{\circ}$，在$Rt\triangle DEF$中，$\angle EDF=90^{\circ}-\angle DEF = 70^{\circ}$。
因为$\angle EDF$是$\triangle ABD$的外角，所以$\angle EDF=\angle B + \angle BAD$。
已知$\angle B = 40^{\circ}$，则$\angle BAD=\angle EDF - \angle B=70^{\circ}- 40^{\circ}=30^{\circ}$。
因为$AD$平分$\angle BAC$，所以$\angle BAC = 2\angle BAD = 60^{\circ}$。
在$\triangle ABC$中，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，可得$\angle C=180^{\circ}-\angle B - \angle BAC=180^{\circ}-40^{\circ}-60^{\circ}=80^{\circ}$。
(2)
因为$AD$平分$\angle BAC$，所以$\angle BAD=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle B - \angle ACB)=\frac{1}{2}(180 - n - m)^{\circ}$。
在$\triangle ABD$中，$\angle ADC$是外角，则$\angle ADC=\angle B+\angle BAD=n^{\circ}+\frac{1}{2}(180 - n - m)^{\circ}=90^{\circ}+\frac{n - m}{2}^{\circ}$。
因为$EF\perp AD$，在$Rt\triangle DEF$中，$\angle F = 90^{\circ}-\angle ADC=90^{\circ}-(90^{\circ}+\frac{n - m}{2}^{\circ})=\frac{m - n}{2}^{\circ}$。
综上，
(1)中$\angle C$的度数为$80^{\circ}$；
(2)中$\angle F=\frac{m - n}{2}^{\circ}$。