《2025年长江全能学案同步练习册八年级数学上册人教版》

9. 在实数范围内分解因式 $x^{2} - 2x - 4 = $ $(x - 1 + \sqrt{5})(x - 1 - \sqrt{5})$。

答案： $(x - 1 + \sqrt{5})(x - 1 - \sqrt{5})$

10. 已知 $a + 2b = 4$,$ab = 2$,则 $a^{2} + 4b^{2} = $8,$(a - 2b)^{2} = $0。

答案： 8,0

11. 小玉和小丽做游戏,两人各报一个整式,小玉报的整式作为被除式,小丽报的整式作为除式,要求商式必须是 $3ab$。若小玉报的整式是 $3a^{2}b - ab^{2}$,则小丽报的整式是 $a - \frac{1}{3}b$；若小丽报的整式是 $9a^{2}b$,则小玉报的整式是 $27a^{3}b^{2}$。

答案： $a - \frac{1}{3}b$；$27a^{3}b^{2}$

12. 把一根 $20cm$ 长的铁丝分成两段,将每一段围成一个正方形。若这两个正方形的面积之差是 $5cm^{2}$,则这两段铁丝的长分别为 12cm和8cm。

答案： $12cm$和$8cm$（或$8cm$和$12cm$，按格式要求这里只需体现两个答案数值即可）

13. 一个大正方形和四个全等的小正方形按如图 1 和图 2 的两种方式摆放,则图 2 的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是 ab(用含 $a$,$b$ 的式子表示)。

答案： ab

14. 先化简,再求值：
(1)$(a^{2}b - 2ab^{2} - b^{3}) ÷ b - (a + b)(a - b)$,其中 $a = \frac{1}{2}$,$b = -1$；
(2)$(a - 2b)(a + 2b) + ab^{3} ÷ (-ab)$,其中 $a = \sqrt{2}$,$b = -1$。

答案：
(1)
首先化简$(a^{2}b - 2ab^{2} - b^{3}) ÷ b - (a + b)(a - b)$：
$(a^{2}b - 2ab^{2} - b^{3}) ÷ b - (a + b)(a - b)$
$=a^{2} - 2ab - b^{2} - (a^{2} - b^{2})$
$=a^{2} - 2ab - b^{2} - a^{2} + b^{2}$
$=- 2ab$
当$a = \frac{1}{2}$，$b = -1$时，
$-2×\frac{1}{2}×(-1)=1$。
(2)
首先化简$(a - 2b)(a + 2b) + ab^{3} ÷ (-ab)$：
$(a - 2b)(a + 2b) + ab^{3} ÷ (-ab)$
$=a^{2} - 4b^{2} - b^{2}$
$=a^{2} - 5b^{2}$
当$a = \sqrt{2}$，$b = -1$时，
$(\sqrt{2})^{2} - 5×(-1)^{2}$
$=2 - 5$
$=-3$

15. 分解因式：
(1)$3x^{2}y - 27y$；
(2)$20a^{2}b - 20ab + 5b$；
(3)$a^{2}(m - n) + 9(n - m)$；
(4)$-9(2x - 1)^{2} - 6(2x - 1) - 1$。

答案：
(1)
$\;\;\;\;3x^{2}y - 27y$
$=3y(x^{2}-9)$
$=3y(x + 3)(x - 3)$
(2)
$\;\;\;\;20a^{2}b - 20ab + 5b$
$=5b(4a^{2}-4a + 1)$
$=5b(2a - 1)^{2}$
(3)
$\;\;\;\;a^{2}(m - n)+9(n - m)$
$=a^{2}(m - n)-9(m - n)$
$=(m - n)(a^{2}-9)$
$=(m - n)(a + 3)(a - 3)$
(4)
$\;\;\;\;-9(2x - 1)^{2}-6(2x - 1)-1$
$=-[9(2x - 1)^{2}+6(2x - 1)+1]$
令$t = 2x - 1$，则原式$=-(9t^{2}+6t + 1)$
$=-(3t + 1)^{2}$
把$t = 2x - 1$代回得：
$=-(3(2x - 1)+1)^{2}$
$=-(6x-3 + 1)^{2}$
$=-(6x - 2)^{2}$
$=-4(3x - 1)^{2}$

16. 设 $A = 2x^{2} - 3xy + y^{2} - x + 2y$,$B = 4x^{2} - 6xy + 2y^{2} - 3x - y$,若 $|x - 2a| + (y + 3)^{2} = 0$,且 $-2A + B = a$,求 $A$ 的值。

答案： 283