《2025年长江全能学案同步练习册八年级数学上册人教版》

例1 分解因式：
(1)$a^{2}-9b^{2}$； (2)$25x^{2}y^{2}-1$；
(3)$(x+y)^{2}-4$；(4)$16(a-b)^{2}-25(a+b)^{2}$.
【思路导析】两数(式)的平方差可以写成这两数(式)的和与这两数(式)的差的积的形式.

答案：
(1)
解：原式 $= a^{2} - (3b)^{2}$
$= (a + 3b)(a - 3b)$
(2)
解：原式 $= (5xy)^{2} - 1^{2}$
$= (5xy + 1)(5xy - 1)$
(3)
解：原式 $= (x + y)^{2} - 2^{2}$
$= (x + y + 2)(x + y - 2)$
(4)
解：原式 $= \lbrack 4(a - b) \rbrack^{2} - \lbrack 5(a + b) \rbrack^{2}$
$= \lbrack 4(a - b) + 5(a + b) \rbrack\lbrack 4(a - b) - 5(a + b) \rbrack$
$= (9a + b)( - a - 9b)$
$= -(9a + b)(a + 9b)$

例2 分解因式：
(1)$a^{3}b-ab^{3}$； (2)$x^{5}-16x$；
(3)$(a-1)+b^{2}(1-a)$.
【思路导析】先提公因式,再利用平方差公式分解因式.

答案：
(1)
首先提公因式 $ab$：
$a^{3}b - ab^{3} = ab(a^{2} - b^{2})$
接着利用平方差公式 $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ 进行分解：
$ab(a^{2} - b^{2}) = ab(a + b)(a - b)$
(2)
首先提公因式 $x$：
$x^{5} - 16x = x(x^{4} - 16)$
接着，将 $x^4 - 16$ 视为平方差形式，即 $(x^2)^2 - 4^2$，利用平方差公式进行分解：
$x(x^{4} - 16) = x(x^{2} + 4)(x^{2} - 4)$
最后，$x^{2} - 4$ 还可以继续分解为 $(x + 2)(x - 2)$：
$x(x^{2} + 4)(x^{2} - 4) = x(x^{2} + 4)(x + 2)(x - 2)$
(3)
首先，将 $b^{2}(1-a)$ 调整为 $-b^{2}(a-1)$，以便与 $(a-1)$ 提公因式：
$(a - 1) + b^{2}(1 - a) = (a - 1) - b^{2}(a - 1)$
接着提公因式 $a-1$：
$(a - 1) - b^{2}(a - 1) = (a - 1)(1 - b^{2})$
最后，利用平方差公式 $1 - b^2 = (1+b)(1-b)$ 进行分解：
$(a - 1)(1 - b^{2}) = (a - 1)(1 + b)(1 - b)$

例3 李老师在黑板上写出三个算式：$5^{2}-3^{2}= 8×2$,$9^{2}-7^{2}= 8×4$,$15^{2}-3^{2}= 8×27$,王强接着又写下了两个具有相同规律的算式：$11^{2}-5^{2}= 8×12$,$15^{2}-7^{2}= 8×22$.请你再写出两个(不同于上面的算式)具有上述规律的算式：$3^{2} - 1^{2} = 8 × 1$，$13^{2} - 3^{2} = 8 × 20$（答案不唯一）,用文字写出反映上述算式的规律：任意两个奇数的平方差是$8$的倍数,你能验证上述规律的正确性吗？
<思路导析>解决本题的关键是从式子中看出两个奇数的平方差是8的倍数.验证时可设这两个奇数分别为$2m+1$,$2n+1$,$m$,$n$均为整数,且$m＞n$,分析$(2m+1)^{2}-(2n+1)^{2}在m$,$n$同时取奇数或同时取偶数或一奇一偶时是不是8的倍数.
【示范解答】$11^{2}-9^{2}= 8×5$,$7^{2}-5^{2}= 8×3$(答案不唯一).
上述算式的规律是：任意两个奇数的平方差是8的倍数.
验证：设$m$,$n为整数且m＞n$,则任意两个奇数可以表示为$2m+1和2n+1$,
$(2m+1)^{2}-(2n+1)^{2}= (2m-2n)(2m+2n+2)= 4(m-n)(m+n+1)$.
当$m$,$n$同时取奇数或同时取偶数时,$m-n$一定为偶数,所以$4(m-n)$一定是8的倍数；
当$m$,$n$一奇一偶时,$m+n+1$一定为偶数,所以$4(m+n+1)$一定是8的倍数.
所以任意两个奇数的平方差一定是8的倍数.
验证：
设$m$，$n$为整数，且$m ＞ n$，两个奇数可以表示为$2m + 1$和$2n + 1$。
$(2m + 1)^{2} - (2n + 1)^{2} $
$= (2m + 1 + 2n + 1)(2m + 1 - 2n - 1) $
$= (2m + 2n + 2)(2m - 2n) $
$= 4(m + n + 1)(m - n)$
当$m$，$n$同为奇数或同为偶数时，$m - n$为偶数，设$m - n = 2k$（$k$为整数），则$4(m + n + 1)(m - n) = 8k(m + n + 1)$，是$8$的倍数。
当$m$，$n$一奇一偶时，$m + n + 1$为偶数，设$m + n + 1 = 2l$（$l$为整数），则$4(m + n + 1)(m - n) = 8l(m - n)$，是$8$的倍数。
综上，任意两个奇数的平方差一定是$8$的倍数。

答案： 答题卡作答：
两个具有上述规律的算式：$3^{2} - 1^{2} = 8 × 1$，$13^{2} - 3^{2} = 8 × 20$（答案不唯一）。
反映上述算式的规律：任意两个奇数的平方差是$8$的倍数。
验证：
设$m$，$n$为整数，且$m ＞ n$，两个奇数可以表示为$2m + 1$和$2n + 1$。
$(2m + 1)^{2} - (2n + 1)^{2} $
$= (2m + 1 + 2n + 1)(2m + 1 - 2n - 1) $
$= (2m + 2n + 2)(2m - 2n) $
$= 4(m + n + 1)(m - n)$
当$m$，$n$同为奇数或同为偶数时，$m - n$为偶数，设$m - n = 2k$（$k$为整数），则$4(m + n + 1)(m - n) = 8k(m + n + 1)$，是$8$的倍数。
当$m$，$n$一奇一偶时，$m + n + 1$为偶数，设$m + n + 1 = 2l$（$l$为整数），则$4(m + n + 1)(m - n) = 8l(m - n)$，是$8$的倍数。
综上，任意两个奇数的平方差一定是$8$的倍数。