《2025年长江全能学案同步练习册八年级数学上册人教版》

例 2 如图 7 所示,$D$ 为 $\triangle ABC$ 中 $AC$ 边上一点,$AD = 1$,$DC = 2$,$AB = 4$,$E$ 是 $AB$ 边上一点,且 $\triangle ABC$ 的面积等于 $\triangle DEC$ 面积的 $2$ 倍,则 $BE$ 的长为(B)

A.$\frac{1}{2}$
B.$1$
C.$\frac{2}{3}$
D.$\frac{4}{3}$
解：$\because AD = 1$,$DC = 2$,
$\therefore S_{\triangle DEC}= 2S_{\triangle AED}$。
又 $\because S_{\triangle ABC}= 2S_{\triangle DEC}$,
且 $S_{\triangle BCE}+S_{\triangle AED}+S_{\triangle DEC}= S_{\triangle ABC}$,
$\therefore S_{\triangle BCE}+\frac{1}{2}S_{\triangle DEC}+S_{\triangle DEC}= 2S_{\triangle DEC}$,
$\therefore S_{\triangle BCE}= \frac{1}{2}S_{\triangle DEC}= \frac{1}{4}S_{\triangle ABC}$。
$\because \triangle ABC$ 和 $\triangle BCE$ 同高,设高为 $h$,
$\frac{1}{2}BE\cdot h= \frac{1}{4}×\frac{1}{2}AB\cdot h$,
$\therefore BE= \frac{1}{4}AB= \frac{1}{4}×4 = 1$。
故选 B。

答案： B

例 3 如图 8,在 $\triangle ABC$ 中,$O$ 是高 $AD$,$BE$ 的交点。若 $\angle C = 75^{\circ}$,则 $\angle AOB= $105°。

解：因为 $BE$ 是高,所以 $\angle BEC = 90^{\circ}$。又因为 $\angle C = 75^{\circ}$,所以 $\angle OBC = 90^{\circ}-75^{\circ}=15^{\circ}$。所以 $\angle AOB= \angle ODB+\angle OBD = 90^{\circ}+15^{\circ}=105^{\circ}$。
故答案为 $105^{\circ}$。

答案： 105°

例 4 如图 9,在 $\triangle ABC$ 中,$\angle ABC = 80^{\circ}$,$\angle ACB = 50^{\circ}$,$BP$ 平分 $\angle ABC$,$CP$ 平分 $\angle ACB$,则 $\angle BPC= $$115^{\circ}$。

解：因为 $BP$ 平分 $\angle ABC$,$\angle ABC = 80^{\circ}$,所以 $\angle PBC= \frac{1}{2}\angle ABC = 40^{\circ}$。同理 $\angle PCB= \frac{1}{2}\angle ACB = 25^{\circ}$。所以 $\angle BPC = 180^{\circ}-40^{\circ}-25^{\circ}=115^{\circ}$。
故答案为 $115^{\circ}$。

答案： $115^\circ$