《2025年长江全能学案同步练习册八年级数学上册人教版》

9. 如图,在等边三角形 $ ABC $ 中,$ D $ 为 $ AB $ 的中点,$ DE \perp AC $ 于点 $ E $,$ EF \perp BC $ 于点 $ F $. 若 $ AB = 8 $,则线段 $ BF $ 的长为5。

答案： 5

10. 如图,在三角形纸片 $ ABC $ 中,$ AB = 8\ cm $,$ BC = 5\ cm $,$ AC = 6\ cm $,沿过点 $ B $ 的直线折叠这张三角形纸片,使点 $ C $ 落在 $ AB $ 边上的点 $ E $ 处,折痕为 $ BD $,则 $ \triangle AED $ 的周长为9$cm$。

答案： 9

11. 如图,点 $ A $ 的坐标为 $ (8,0) $,$ B $ 为 $ y $ 轴负半轴上一动点,分别以 $ OB $,$ AB $ 为直角边在第三、第四象限作等腰直角三角形 $ OBF $、等腰直角三角形 $ ABE $,连接 $ EF $ 交 $ y $ 轴于点 $ P $,则 $ PB $ 的长为4。

答案： 4

12. 如图 1,在 $ \triangle ABC $ 中,$ AB = AC $,$ D $ 是 $ BC $ 的中点,点 $ E $ 在 $ AD $ 上.
(1) 求证：$ BE = CE $；
(2) 如图 2,若 $ BE $ 的延长线交 $ AC $ 于点 $ F $,且 $ BF \perp AC $,垂足为 $ F $,$ \angle BAC = 45^{\circ} $,原题设的其他条件不变. 求证：$ \triangle AEF \cong \triangle BCF $.

答案：
(1)证明：
∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形．
∵D是BC中点，
∴AD是△ABC的中线．
由等腰三角形三线合一，得AD垂直平分BC．
∵点E在AD上，
∴BE=CE（线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等）．
(2)证明：
∵BF⊥AC，
∴∠AFB=∠BFC=90°．
∵∠BAC=45°，
∴在Rt△ABF中，∠ABF=90°-∠BAC=45°，
∴∠BAC=∠ABF，
∴AF=BF（等角对等边）．
∵AB=AC，D是BC中点，由等腰三角形三线合一，得AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠C+∠CAD=90°．
∵BF⊥AC，
∴∠C+∠CBF=90°，
∴∠CAD=∠CBF（同角的余角相等），即∠EAF=∠CBF．
在△AEF和△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l} ∠AFE=∠BFC\\ AF=BF\\ ∠EAF=∠CBF\end{array}\right. $
∴△AEF≌△BCF（ASA）．

13. 如图,在等边 $ \triangle ABC $ 中,点 $ D $ 为 $ AC $ 上一点,$ CD = CE $,$ \angle ACE = 60^{\circ} $.
(1) 求证：$ \triangle BCD \cong \triangle ACE $；
(2) 延长 $ BD $ 交 $ AE $ 于点 $ F $,连接 $ CF $,若 $ AF = CF $,猜想线段 $ BF $,$ AF $ 的数量关系,并证明你的猜想.

答案：
(1) 见证明；
(2) BF=2AF