《2025年长江全能学案同步练习册八年级数学上册人教版》

例 1 分解因式：
(1) $ x^{2}+14x + 49 $； (2) $ 9x^{2}-12x + 4 $；
(3) $ \frac{1}{16}a^{2}b^{2}-\frac{1}{2}ab + 1 $； (4) $ a^{2}+a+\frac{1}{4} $.
【思路导析】套用完全平方公式进行因式分解.

答案：
(1) $x^{2}+14x + 49 = x^{2} + 2 \cdot x \cdot 7 + 7^{2} = (x + 7)^{2}$
(2) $9x^{2}-12x + 4 = (3x)^{2} - 2 \cdot 3x \cdot 2 + 2^{2} = (3x - 2)^{2}$
(3) $\frac{1}{16}a^{2}b^{2}-\frac{1}{2}ab + 1 = \left(\frac{1}{4}ab\right)^{2} - 2 \cdot \frac{1}{4}ab \cdot 1 + 1^{2} = \left(\frac{1}{4}ab - 1\right)^{2}$
(4) $a^{2}+a+\frac{1}{4} = a^{2} + 2 \cdot a \cdot \frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2}\right)^{2} = \left(a + \frac{1}{2}\right)^{2}$

例 2 分解因式：
(1) $ x^{2}y^{2}+\frac{2}{3}xy^{3}+\frac{1}{9}y^{4} $；
(2) $ 16a^{4}-8a^{2}b^{2}+b^{4} $；
(3) $ x^{2}y - 2x^{2}-y + 2 $；
(4) $ 4x^{2}-y^{2}-z^{2}+2yz $.
【思路导析】(1) 二或三项式 $ \to $ 提公因式 $ \to \begin{cases} 两项用平方差公式 \\ 三项用完全平方公式 \end{cases} $
(2) 先进行分组,再运用平方差公式或完全平方公式进行因式分解.

答案：
(1) $x^{2}y^{2}+\frac{2}{3}xy^{3}+\frac{1}{9}y^{4}$
$=y^{2}(x^{2}+\frac{2}{3}xy+\frac{1}{9}y^{2})$
$=y^{2}(x+\frac{1}{3}y)^{2}$
(2) $16a^{4}-8a^{2}b^{2}+b^{4}$
$=(4a^{2})^{2}-2\cdot4a^{2}\cdot b^{2}+(b^{2})^{2}$
$=(4a^{2}-b^{2})^{2}$
$=[(2a-b)(2a+b)]^{2}$
$=(2a-b)^{2}(2a+b)^{2}$
(3) $x^{2}y - 2x^{2}-y + 2$
$=(x^{2}y - 2x^{2})+(-y + 2)$
$=x^{2}(y - 2)-(y - 2)$
$=(y - 2)(x^{2}-1)$
$=(y - 2)(x - 1)(x + 1)$
(4) $4x^{2}-y^{2}-z^{2}+2yz$
$=4x^{2}-(y^{2}+z^{2}-2yz)$
$=(2x)^{2}-(y - z)^{2}$
$=(2x - y + z)(2x + y - z)$

例 3 (1) 已知 $ x + y = \frac{1}{2} $,求 $ \frac{1}{2}x^{2}+xy+\frac{1}{2}y^{2} $ 的值；
(2) 已知 $ a,b,c $ 为三角形的三边长,且满足 $ a^{2}+b^{2}+c^{2}+50 = 6a + 8b + 10c $,求 $ a,b,c $ 的值.
【思路导析】(1) 首项为分数因式时,要提取分数 $ \frac{1}{2} $.多项式提取公因式之后为 $ x^{2}+2xy + y^{2} $,是完全平方式,再利用公式法可凑出 $ x + y $ 的项.(2) 将 50 拆成 9、16、25 的和,然后运用完全平方公式得到三个完全平方和的形式.
【示范解答】(1) $ \frac{1}{2}x^{2}+xy+\frac{1}{2}y^{2}= \frac{1}{2}(x^{2}+2xy + y^{2})= \frac{1}{2}(x + y)^{2} $.
把 $ x + y = \frac{1}{2} $ 代入,得原式 $ = \frac{1}{2}×(\frac{1}{2})^{2}= \frac{1}{8} $.
(2) $ \because a^{2}+b^{2}+c^{2}+50 = 6a + 8b + 10c $,
$ \therefore (a^{2}-6a + 9)+(b^{2}-8b + 16)+(c^{2}-10c + 25) = 0 $,
$ \therefore (a - 3)^{2}+(b - 4)^{2}+(c - 5)^{2} = 0 $,
$ \therefore a - 3 = 0 $,$ b - 4 = 0 $,$ c - 5 = 0 $,
即 $ a = 3 $,$ b = 4 $,$ c = 5 $.

答案：
(1)
$\begin{aligned} \frac{1}{2}x^{2} + xy + \frac{1}{2}y^{2} &= \frac{1}{2}(x^{2} + 2xy + y^{2}) \\ &= \frac{1}{2}(x + y)^{2} \\ &= \frac{1}{2} × \left(\frac{1}{2}\right)^{2} \\ &= \frac{1}{8} \end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned} a^{2} + b^{2} + c^{2} + 50 &= 6a + 8b + 10c \\ a^{2} - 6a + 9 + b^{2} - 8b + 16 + c^{2} - 10c + 25 &= 0 \\ (a - 3)^{2} + (b - 4)^{2} + (c - 5)^{2} &= 0 \\ a - 3 &= 0, \quad b - 4 = 0, \quad c - 5 = 0 \\ a &= 3, \quad b = 4, \quad c = 5\end{aligned}$