《2025年长江全能学案同步练习册八年级数学上册人教版》

10. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle B = 25^{\circ}$,$\angle BAC = 31^{\circ}$,过点$A作BC$边上的高,交$BC的延长线于点D$,$CE平分\angle ACD$,交$AD于点E$. 求：(1)$\angle ACE$的度数；(2)$\angle AEC$的度数.

答案： 解：
(1) 在$\triangle ABC$中，
$\because \angle B = 25^{\circ}$，$\angle BAC = 31^{\circ}$，
$\therefore \angle ACD = \angle B + \angle BAC = 25^{\circ} + 31^{\circ} = 56^{\circ}$，
$\because CE$平分$\angle ACD$，
$\therefore \angle ACE = \frac{1}{2}\angle ACD = \frac{1}{2} × 56^{\circ} = 28^{\circ}$。
(2) $\because AD \perp BD$，
$\therefore \angle ADC = 90^{\circ}$，
$\therefore \angle AEC = \angle ADC + \angle ACE = 90^{\circ} + 28^{\circ} = 118^{\circ}$。
综上，
(1)$\angle ACE$的度数为$28^{\circ}$；
(2)$\angle AEC$的度数为$118^{\circ}$。

11. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle ABC$,$\angle ACB的外角平分线相交于点P$. (1)若$\angle A = 50^{\circ}$,求$\angle BPC$的度数；(2)若$\angle A = \alpha$,试用含$\alpha的代数式表示\angle BPC$的度数.

答案：
(1)
在$\triangle ABC$中，根据三角形内角和定理，$\angle ABC + \angle ACB=180^{\circ}-\angle A$，已知$\angle A = 50^{\circ}$，则$\angle ABC + \angle ACB=130^{\circ}$。
设$\angle ABC$的外角为$\angle EBC$，$\angle ACB$的外角为$\angle FCB$，那么$\angle EBC = 180^{\circ}-\angle ABC$，$\angle FCB = 180^{\circ}-\angle ACB$，所以$\angle EBC+\angle FCB = 360^{\circ}-(\angle ABC + \angle ACB)=230^{\circ}$。
因为$BP$平分$\angle EBC$，$CP$平分$\angle FCB$，所以$\angle PBC=\frac{1}{2}\angle EBC$，$\angle PCB=\frac{1}{2}\angle FCB$，则$\angle PBC+\angle PCB=\frac{1}{2}(\angle EBC+\angle FCB)=115^{\circ}$。
在$\triangle BPC$中，根据三角形内角和定理，$\angle BPC = 180^{\circ}-(\angle PBC+\angle PCB)=65^{\circ}$。
(2)
在$\triangle ABC$中，$\angle ABC + \angle ACB=180^{\circ}-\angle A = 180^{\circ}-\alpha$。
$\angle EBC+\angle FCB = 360^{\circ}-(\angle ABC + \angle ACB)=180^{\circ}+\alpha$。
因为$BP$平分$\angle EBC$，$CP$平分$\angle FCB$，所以$\angle PBC+\angle PCB=\frac{1}{2}(\angle EBC+\angle FCB)=90^{\circ}+\frac{\alpha}{2}$。
在$\triangle BPC$中，$\angle BPC = 180^{\circ}-(\angle PBC+\angle PCB)=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}$。
综上，
(1)中$\angle BPC$的度数为$65^{\circ}$；
(2)中$\angle BPC = 90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}$。

12. 如图,试分别求各图中$\angle A + \angle B + \angle C + \angle D + \angle E$的度数.

答案：
(1)连接交点形成三角形，利用三角形外角性质，将∠A、∠B、∠C、∠D、∠E转化为一个三角形的内角和。
在△CNM中，∠CNM是△AND的外角，故∠CNM=∠A+∠D；∠CMN是△BME的外角，故∠CMN=∠B+∠E。
∵△CNM内角和为180°，
∴∠CNM+∠CMN+∠C=180°，即(∠A+∠D)+(∠B+∠E)+∠C=180°。
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°。
(2)设AC与BE交于点D，利用三角形外角性质。
∠ADC是△CDE的外角，∠ADC=∠C+∠E；∠BDE是△ABD的外角，∠BDE=∠A+∠B。
∵∠ADC=∠BDE（对顶角相等），在△ABD中，∠A+∠B+∠ADB=180°，而∠ADB=∠D，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=∠A+∠B+∠D+(∠C+∠E)=∠A+∠B+∠D+∠ADC=180°。
(3)延长EG交AC于点F，利用三角形外角性质。
∠DFG是△DEG的外角，∠DFG=∠D+∠E；∠CFB是△AFC的外角，∠CFB=∠A+∠C。
在△BFG中，∠B+∠CFB+∠DFG=180°，即∠B+(∠A+∠C)+(∠D+∠E)=180°。
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°。
结论：各图中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数均为180°。
180°；180°；180°

13. 如图,在$\triangle ABC$中,$AD \perp BC于点D$,$BE平分\angle ABC$,若$\angle ABC = 64^{\circ}$,$\angle AEB = 70^{\circ}$. (1)求$\angle CAD$的度数；(2)若点$F为线段BC$上的任意一点,当$\triangle EFC$为直角三角形时,求$\angle BEF$的度数.

答案：
(1)
∵BE平分∠ABC，∠ABC=64°，
∴∠ABE=∠EBC=32°．
在△ABE中，∠BAE=180°-∠ABE-∠AEB=180°-32°-70°=78°．
在△ABC中，∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=180°-64°-78°=38°．
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，在Rt△ADC中，∠CAD=90°-∠ACB=90°-38°=52°．
(2)△EFC为直角三角形时，分两种情况：
①当∠EFC=90°时，
∵∠EBC=32°，∠EFB=90°，
∴∠BEF=90°-32°=58°；
②当∠FEC=90°时，在△BEC中，∠BEC=180°-∠EBC-∠ACB=180°-32°-38°=110°，
∴∠BEF=∠BEC-∠FEC=110°-90°=20°．
(1)52°；
(2)20°或58°．