《2025年长江全能学案同步练习册八年级数学上册人教版》

例1 (1)某人骑自行车行驶300米,用时$x$分钟,则他骑自行车的平均速度为$\frac{300}{x}$米/分钟；
(2)下列各代数式中,是分式的有$\frac{1}{x}$，$\frac{4}{a^{2}-5}$，$\frac{2a}{x^{2}y}$，$\frac{1}{5}x - \frac{z}{y}$。
$\frac{x}{2}$,$\frac{1}{x}$,$\frac{4}{a^{2}-5}$,$\frac{2}{\pi}$,$\frac{2a}{x^{2}y}$,$\frac{1}{5}x-\frac{z}{y}$,$-2a$。
【思路导析】1. 速度$=\frac{路程}{时间}$。
2. 设$A$,$B$是两个整式,并且$B$中含有字母,则$\frac{A}{B}$就是分式。
【请你解答】(1)$\frac{300}{x}$。
(2)$\frac{1}{x}$，$\frac{4}{a^{2}-5}$，$\frac{2a}{x^{2}y}$，$\frac{1}{5}x - \frac{z}{y}$。

答案：
(1)$\frac{300}{x}$；
(2)$\frac{1}{x}$，$\frac{4}{a^{2}-5}$，$\frac{2a}{x^{2}y}$，$\frac{1}{5}x - \frac{z}{y}$

例2 (1)若分式$\frac{2}{x - 5}$有意义,则$x$的取值范围是(A)

A. $x\neq5$
B. $x\neq - 5$
C. $x＞5$
D. $x＞ - 5$
(2)当$x$为____时,分式$\frac{x}{x - 1}$无意义(B)
A. $x = 0$
B. $x = 1$
C. $x\neq0$
D. $x\neq1$
【思路导析】1. 分式有意义,则分式的分母不为零；反过来,分式的分母不为零,则分式有意义。
2. 分母为零,分式无意义；分式无意义,则分式的分母为零。
【请你解答】(1)____；(2)____。

答案：
(1) A；
(2) B

例3 (1)下列各式中,$x$为何值时,该分式的值为零？
①$\frac{x}{x - 2}$；②$\frac{x - 1}{x + 2}$。
(2)当$x$为何值时,分式$\frac{|x| - 2}{x + 2}$的值为零？
【思路导析】第一步,令分子为零,求出字母$x$的值。
第二步,将求出的$x$的值代入分母中,使分母的值为零的$x$的值应舍去。
【示范解答】(1)①当$x = 0$时(此时$x - 2= -2\neq0$),分式$\frac{x}{x - 2}$的值为零。
②当$x - 1 = 0$,即$x = 1$时(此时$x + 2 = 3\neq0$),分式$\frac{x - 1}{x + 2}$的值为零。
(2)要使$\frac{|x| - 2}{x + 2}= 0$,则$\begin{cases}|x| - 2 = 0,\\x + 2\neq0,\end{cases} $
$\therefore x = 2$。
故当$x = 2$时,分式$\frac{|x| - 2}{x + 2}$的值为零。

答案：
(1)①要使分式$\frac{x}{x - 2}$的值为零，需要满足：
$x = 0$
且$x - 2 \neq 0$
由$x = 0$，且$x - 2 = -2 \neq 0$，所以当$x = 0$时，分式的值为零。
②要使分式$\frac{x - 1}{x + 2}$的值为零，需要满足：
$x - 1 = 0$
即$x = 1$
且$x + 2 \neq 0$
由$x = 1$，且$x + 2 = 3 \neq 0$，所以当$x = 1$时，分式的值为零。
(2)要使分式$\frac{|x| - 2}{x + 2}$的值为零，需要满足：
$|x| - 2 = 0$
即$|x| = 2$
解得$x = 2$或$x = -2$
且$x + 2 \neq 0$
由$|x| = 2$可得$x = 2$或$x = -2$，但$x + 2 \neq 0$，所以$x \neq -2$，因此只有$x = 2$满足条件。
所以当$x = 2$时，分式$\frac{|x| - 2}{x + 2}$的值为零。