《2025年长江全能学案同步练习册八年级数学上册人教版》

7. 如图,在△ABC中,AD垂直平分BC,点C在AE的垂直平分线上,点B,D,C,E在同一直线上。若AB= 4cm,BD= 2cm,则DE为(C)

A.8cm
B.7cm
C.6cm
D.5cm

答案： C

8. 如图,点A,B的坐标分别为(2,3),(4,1),在x轴或y轴上有一点P,且点P到点A和点B的距离相等,则点P的坐标为(A)

A.(1,0)或(0,-1)
B.(-1,0)或(0,1)
C.(0,3)或(4,0)
D.(2,0)或(0,1)

答案： A

9. 如图,某公园有海盗船、摩天轮、碰碰车三个娱乐项目,现要在公园内建一个售票中心,使得三个娱乐项目所处位置到售票中心的距离相等,请在图中确定售票中心的位置。

答案： 1. 连接海盗船与摩天轮两点，得到线段AB；
2. 连接摩天轮与碰碰车两点，得到线段BC；
3. 分别作线段AB、BC的垂直平分线，两条垂直平分线交于点P；
4. 点P即为售票中心的位置。

10. 如图,在△ABC中,∠BAC= 120°,若DE,FG分别垂直平分AB,AC,△AEF的周长为10cm。求∠EAF的度数及BC的长。

答案： ∠EAF=60°；BC=10cm。
解析：
∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE（线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等）。
∵FG垂直平分AC，
∴AF=CF（线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等）。
在△ABC中，∠BAC=120°，
∴∠B+∠C=180°-∠BAC=60°。
∵AE=BE，
∴∠B=∠BAE；
∵AF=CF，
∴∠C=∠CAF。
∴∠BAE+∠CAF=∠B+∠C=60°。
∴∠EAF=∠BAC-(∠BAE+∠CAF)=120°-60°=60°。
△AEF周长=AE+EF+AF=10cm，又
∵AE=BE，AF=CF，
∴BC=BE+EF+FC=AE+EF+AF=10cm。
综上，∠EAF=60°，BC=10cm。

11. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB= 90°,D是AB上一点,BD= BC,过点D作AB的垂线交AC于点E,连接CD,BE交于点F。求证：BE垂直平分CD。

答案： 证明：
∵ ED⊥AB，∠ACB=90°，
∴ ∠EDB=∠ECB=90°．
在Rt△ECB和Rt△EDB中，
$\left\{\begin{array}{l} BE=BE\\ BC=BD\end{array}\right.$，
∴ Rt△ECB≌Rt△EDB（HL）．
∴ EC=ED，∠CBE=∠DBE．
∵ EC=ED，
∴ 点E在线段CD的垂直平分线上．
∵ BC=BD，
∴ 点B在线段CD的垂直平分线上．
∵ 点E、B均在线段CD的垂直平分线上，
∴ 直线BE垂直平分CD．

12. 如图,在△ABC中,BE平分∠ABC,点E在AC的垂直平分线上,EF⊥BC于点F,EG⊥AB交BA的延长线于点G。求证：
(1)AG= CF。
(2)BC - AB= 2CF。

答案：
(1)
∵点E在AC的垂直平分线上，
∴EA=EC(线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等)。
∵BE平分∠ABC，EG⊥AB，EF⊥BC，
∴EG=EF(角平分线上的点到角两边距离相等)。
∵EG⊥AB，EF⊥BC，
∴∠EGA=∠EFC=90°。
在Rt△EAG和Rt△EFC中，
$\left\{\begin{array}{l} EA=EC\\ EG=EF\end{array}\right.$，
∴Rt△EAG≌Rt△EFC(HL)。
∴AG=CF。
(2)在Rt△EGB和Rt△EFB中，
$\left\{\begin{array}{l} ∠EGB=∠EFB=90°\\ ∠EBG=∠EBF\\ BE=BE\end{array}\right.$，
∴Rt△EGB≌Rt△EFB(AAS)。
∴BG=BF。
∵G在BA延长线上，
∴BG=AB+AG。
∵F在BC上，
∴BF=BC-CF。
∴AB+AG=BC-CF。
∵AG=CF，
∴AB+CF=BC-CF。
∴BC-AB=2CF。