《2025年长江全能学案同步练习册八年级数学上册人教版》

例1 如图15.1 - 5,已知AB比AC长2cm,BC的垂直平分线交AB于D,交BC于E,△ACD的周长是14cm,求AB和AC的长。

答案：
∵DE是BC的垂直平分线，
∴DB=DC。
∵△ACD的周长是14cm，
∴AD+DC+AC=14cm，
又
∵DB=DC，
∴AD+DB+AC=14cm，即AB+AC=14cm。
设AC=x cm，则AB=(x+2)cm，
x+2+x=14，
2x=12，
x=6，
AB=6+2=8cm。
AB长8cm，AC长6cm。

例2 如图15.1 - 6,在△ABC中,AD平分∠BAC,过D作DM⊥AB于点M,DN⊥AC交AC的延长线于点N,且BM= CN。求证：点D在线段BC的垂直平分线上。

答案： 证明：
连接BD，CD。
∵AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AC，
∴DM=DN（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）。
在Rt△DMB和Rt△DNC中，
∵BM=CN，DM=DN，
∴Rt△DMB≌Rt△DNC（HL）。
∴DB=DC（全等三角形的对应边相等）。
∴点D在线段BC的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）。

例3 如图15.1 - 7,校园内有两条路OA,OB,在交叉口附近有两块宣传牌C,D,学校准备在这附近安装一盏路灯,要求灯柱的位置P离两块宣传牌一样远,并且到两条路的距离也一样远,请你帮忙画出灯柱的位置P,并说明理由。

答案：
【示范解答】灯柱的位置P在∠AOB的平分线OE与线段CD的垂直平分线的交点处。如图15.1 - 8。理由如下：


∵点P在∠AOB的平分线上,

∴点P到∠AOB的两边OA,OB的距离一样远。

∵点P在线段CD的垂直平分线上,

∴点P到点C和到点D的距离相等。

∴点P符合题意。
【方法总结】解答作图选点性问题的方法：若要找到离某两个点的距离相等的点,一般在这两点所连线段的垂直平分线上去找；若要找到与某两条不平行的直线的距离相等的点,则一般在这两条直线相交所成的角的平分线上去找。