《2025年长江全能学案同步练习册八年级数学上册人教版》

例1 如图15.1 - 5,已知AB比AC长2cm,BC的垂直平分线交AB于D,交BC于E,△ACD的周长是14cm,求AB和AC的长。

答案：
∵DE是BC的垂直平分线，
∴DB=DC。
∵△ACD的周长是14cm，
∴AD+DC+AC=14cm，
又
∵DB=DC，
∴AD+DB+AC=14cm，即AB+AC=14cm。
设AC=x cm，则AB=(x+2)cm，
x+2+x=14，
2x=12，
x=6，
AB=6+2=8cm。
AB长8cm，AC长6cm。

例2 如图15.1 - 6,在△ABC中,AD平分∠BAC,过D作DM⊥AB于点M,DN⊥AC交AC的延长线于点N,且BM= CN。求证：点D在线段BC的垂直平分线上。

【思路导析】欲证点D在线段BC的垂直平分线上,需证明点D到B,C两点的距离相等,因此需要连接BD,CD。
【请你证明】

答案： 证明：
连接BD，CD。
∵AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AC，
∴DM=DN（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）。
在Rt△DMB和Rt△DNC中，
∵BM=CN，DM=DN，
∴Rt△DMB≌Rt△DNC（HL）。
∴DB=DC（全等三角形的对应边相等）。
∴点D在线段BC的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）。

例3 如图15.1 - 7,校园内有两条路OA,OB,在交叉口附近有两块宣传牌C,D,学校准备在这附近安装一盏路灯,要求灯柱的位置P离两块宣传牌一样远,并且到两条路的距离也一样远,请你帮忙画出灯柱的位置P,并说明理由。

【思路导析】到宣传牌C和D的距离相等,则应在线段CD的垂直平分线上；到路OA,OB的距离相等,则应在路OA,OB夹角的平分线上,那么灯柱的位置应在这两条直线的交点处。
【示范解答】灯柱的位置P在∠AOB的平分线OE与线段CD的垂直平分线的交点处。如图15.1 - 8。理由如下：

∵点P在∠AOB的平分线上,
∴点P到∠AOB的两边OA,OB的距离一样远。
∵点P在线段CD的垂直平分线上,
∴点P到点C和到点D的距离相等。
∴点P符合题意。
【方法总结】解答作图选点性问题的方法：若要找到离某两个点的距离相等的点,一般在这两点所连线段的垂直平分线上去找；若要找到与某两条不平行的直线的距离相等的点,则一般在这两条直线相交所成的角的平分线上去找。

答案： 答题步骤如下，直接填入答题卡：
1. 连接 $C$、$D$，作线段 $CD$ 的垂直平分线。
2. 作 $\angle AOB$ 的平分线 $OE$。
3. 垂直平分线与角平分线 $OE$ 的交点即为灯柱的位置 $P$。
理由：
∵点 $P$ 在 $\angle AOB$ 的平分线上，
∴点 $P$ 到 $\angle AOB$ 的两边 $OA$、$OB$ 的距离一样远。
∵点 $P$ 在线段 $CD$ 的垂直平分线上，
∴点 $P$ 到点 $C$ 和到点 $D$ 的距离相等。
∴点 $P$ 符合题意。