《2025年长江全能学案同步练习册八年级数学上册人教版》

8. 图 a 和图 b 中所有的小正方形都全等,将图 a 的小正方形放在图 b 中的①②③④的某一位置,使它与原来 7 个小正方形组成的图形是轴对称图形并且有两条对称轴,这个位置是(C)

A.①
B.②
C.③
D.④

答案： C

9. 图中所给图形分别为正三角形、正方形、正五边形、正六边形.

(1) 分别说出它们各有几条对称轴；
(2) 分别画出各图形的所有对称轴；
(3) 通过你自己的作图与思考,你发现了哪些规律？试写出几条.

答案：
(1)
正三角形有$3$条对称轴；
正方形有$4$条对称轴；
正五边形有$5$条对称轴；
正六边形有$6$条对称轴。
(2) 画图（由于无法实际画图，文字描述对称轴画法）：
正三角形：分别从三个顶点向对边中点连线，这三条线为对称轴；
正方形：两条对角线以及两组对边中点连线，共四条为对称轴；
正五边形：过每个顶点与对边中点连线，共五条为对称轴；
正六边形：过相对两个顶点连线$3$条，过相对两边中点连线$3$条，共六条为对称轴。
(3)
规律一：正$n$边形有$n$条对称轴；
规律二：正$n$边形的对称轴要么过顶点与对边中点，要么过相对顶点或相对两边中点；
规律三：正$n$边形对称轴数量与其边数相等。

10. 如图,$ \triangle ABC $ 与 $ \triangle ADE $ 关于直线 $ MN $ 对称,$ BC $ 与 $ DE $ 的交点 $ F $ 在直线 $ MN $ 上. 若 $ ED = 8 $,$ FC = 2 $,$ \angle BAC = 75^\circ $,$ \angle EAC = 56^\circ $.
(1) 求 $ BF $ 的长度；
(2) 求 $ \angle CAD $ 的度数.

答案：
(1) 6；
(2) 19°。

11. 如图,直线 $ l_1 $,$ l_2 $ 相交于点 $ O $,点 $ P $ 关于 $ l_1 $,$ l_2 $ 的对称点分别为 $ P_1 $,$ P_2 $.
(1) 若 $ l_1 $,$ l_2 $ 相交所成的锐角 $ \angle AOB = 60^\circ $,则 $ \angle P_1OP_2 = $$120^{\circ}$；
(2) 若 $ OP = 3 $,$ P_1P_2 = 5 $,求 $ \triangle P_1OP_2 $ 的周长.

11

答案：
(1)
连接$OP$，$OP_1$，$OP_2$。
因为点$P$关于$l_1$，$l_2$的对称点分别为$P_1$，$P_2$，所以$l_1$垂直平分$PP_1$，$l_2$垂直平分$PP_2$。
则$\angle P_1OA=\angle AOP$，$\angle P_2OB = \angle BOP$。
$\angle P_1OP_2=2(\angle AOP+\angle BOP)=2\angle AOB$。
已知$\angle AOB = 60^{\circ}$，所以$\angle P_1OP_2 = 120^{\circ}$。
(2)
由
(1)可知$OP_1 = OP=OP_2 = 3$。
根据三角形周长的定义，$\triangle P_1OP_2$的周长为$P_1P_2+OP_1+OP_2$。
已知$P_1P_2 = 5$，$OP_1 = OP_2 = 3$，所以$\triangle P_1OP_2$的周长为$5 + 3+3=11$。
综上，答案依次为：
(1)$120^{\circ}$；
(2)$11$。

12. 如图,将长方形纸片 $ ABCD $ 沿 $ EF $ 折叠,使点 $ A $ 与点 $ C $ 重合,点 $ D $ 落在点 $ G $ 处,$ EF $ 为折痕.
(1) 求证：$ \triangle FGC \cong \triangle EBC $；
(2) 若 $ AB = 8 $,$ AD = 4 $,求四边形 $ ECGF $(阴影部分)的面积.

答案：
(1) 见证明过程；
(2) 16。