《2025年长江全能学案同步练习册八年级数学上册人教版》

例1 如图15.3 - 14,在Rt△ABC中,∠C = 90°,∠BAC = 60°,∠BAC的平分线AM长为15 cm,求BC的长。

【思路导析】
$\left. \begin{array}{l} AM 平分\angle BAC \\ \angle BAC = 60^\circ \end{array}\circ \right\} \Rightarrow $
$\angle BAM = \angle B = \angle CAM = 30^\circ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} CM = \frac{1}{2}AM \\ AM = BM \\ BC = CM + MB \end{array} \right\} \Rightarrow BC 的长。$

答案： 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=60°，
∴∠B=180°-∠C-∠BAC=30°。
∵AM平分∠BAC，∠BAC=60°，
∴∠CAM=∠BAM=30°。
在Rt△ACM中，∠C=90°，∠CAM=30°，AM=15cm，
∴CM=1/2AM=7.5cm。
∵∠BAM=∠B=30°，
∴BM=AM=15cm。
∴BC=CM+BM=7.5+15=22.5cm。
答：BC的长为22.5cm。

例2 如图15.3 - 15,在等边△ABC中,BD平分∠ABC交AC于点D,过点D作DE⊥BC于点E,且CE = 1,求AB的长。

【思路导析】因为BD是等边△ABC的角平分线,所以BD⊥AC。又因为BC是直角三角形的斜边,所以BC = 2DC。又因为在△DEC中,EC = $\frac{1}{2}$DC,从而求得BC的值。

答案： AB的长为4。

例3 如图15.3 - 16,已知在△ABC中,BD是AC边上的中线,DB⊥BC于B,∠ABC = 120°,求证：AB = 2BC。

【思路导析】
$\boxed{求证AB = 2BC} \rightarrow \boxed{通过作辅助线把AB与BC放在同一个三角形中} \rightarrow \boxed{证明构造的三角形是一个特殊的直角三角形} \rightarrow \boxed{得到AB = 2BC}$

【示范解答】证明：如图15.3 - 17,过A作AE//BC交BD的延长线于E。∵DB⊥BC(已知),∴∠AED = 90°(两直线平行,内错角相等)。

在△ADE和△CDB中,
$\left\{ \begin{array}{l} \angle E = \angle CBD(已证) \\ \angle ADE = \angle BDC(对顶角相等) \\ AD = CD(已知) \end{array} \right.$
∴△ADE≌△CDB(AAS)。
∴AE = CB(全等三角形的对应边相等)。
∵∠ABC = 120°,DB⊥BC,
∴∠ABD = 30°。
在Rt△ABE中,∠ABD = 30°,
∴AE = $\frac{1}{2}$AB,
∴BC = $\frac{1}{2}$AB,即AB = 2BC。

答案： 证明：过A作AE//BC交BD的延长线于E。
∵DB⊥BC，
∴∠AED=∠CBD=90°（两直线平行，内错角相等）。
在△ADE和△CDB中，
$\left\{ \begin{array}{l} \angle AED = \angle CBD \\ \angle ADE = \angle CDB \\ AD = CD \end{array} \right.$
∴△ADE≌△CDB（AAS），
∴AE=BC。
∵∠ABC=120°，∠CBD=90°，
∴∠ABD=∠ABC - ∠CBD=30°。
在Rt△ABE中，∠ABD=30°，
∴AE=$\frac{1}{2}$AB（在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半），
∵AE=BC，
∴BC=$\frac{1}{2}$AB，即AB=2BC。