《2025年智慧学习明天出版社八年级数学上册人教版》

自学教科书第 100 页的内容,标注出你认为重要的内容,并解决下列问题.
(1) 完成教科书 100 页探究中的填空.
(2) 探究中的两个算式有什么共同特点? 计算结果有什么规律?
(3) 积的乘方运算性质:
$(ab)^n=$$a^n b^n$（或 $b^n a^n$）( $m,n$ 都是正整数).
即积的乘方,等于把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘.

答案：
(1) 见解析；
(2) 见解析；
(3) $a^n b^n$（或 $b^n a^n$）。

4. 下面的计算是否正确? 如果不正确,应当怎样改正?
(1) $(ab^2)^3= ab^6$;
(2) $(-2a)^2= -4a^2$.

答案：
(1) 原式计算不正确。
根据幂的乘方与积的乘方运算法则，有：
$(ab^{2})^{3} = a^{3} × (b^{2})^{3} = a^{3}b^{6}$
所以，正确的计算结果应为 $a^{3}b^{6}$。
(2) 原式计算不正确。
根据幂的乘方与积的乘方运算法则，有：
$(-2a)^{2} = (-2)^{2} × a^{2} = 4a^{2}$
所以，正确的计算结果应为 $4a^{2}$。

例 1 计算:
(1) $(2a)^3$; (2) $(-5b)^3$;
(3) $(xy^2)^2$; (4) $(-2x^3y)^4$.

答案：
(1)
解：根据积的乘方运算法则$(ab)^n=a^nb^n$，可得
$(2a)^3 = 2^3× a^3=8a^3$
(2)
解：根据积的乘方运算法则$(ab)^n=a^nb^n$，可得
$(-5b)^3=(-5)^3× b^3=-125b^3$
(3)
解：根据积的乘方运算法则$(ab)^n=a^nb^n$，可得
$(xy^2)^2=x^2×(y^2)^2$
再根据幂的乘方运算法则$(a^m)^n=a^{mn}$，可得
$x^2×(y^2)^2=x^2y^{2×2}=x^2y^4$
(4)
解：根据积的乘方运算法则$(ab)^n=a^nb^n$，可得
$(-2x^3y)^4=(-2)^4×(x^3)^4× y^4$
根据幂的乘方运算法则$(a^m)^n=a^{mn}$，可得
$(-2)^4×(x^3)^4× y^4 = 16x^{3×4}y^4=16x^{12}y^4$

例 2 已知 $2^n= a,5^n= b$, $n$ 是正整数,求 $20^n$ 的值.

答案： 答题卡：
因为$20^n = (2^2 × 5)^n$，
根据积的乘方法则，有：
$(2^2 × 5)^n = (2^2)^n × 5^n$，
再根据幂的乘方法则，有：
$(2^2)^n = 2^{2n} = (2^n)^2$，
代入已知条件 $2^n = a$ 和 $5^n = b$，得：
$20^n = (2^n)^2 × 5^n = a^2 × b = a^2b$。

1. 计算:
(1) $(ab)^4$; (2) $(-\frac{1}{2}xy^2)^3$;
(3) $(-3×10^2)^4$; (4) $(2ab^2)^3$.

答案： 1.
(1)$a^{4}b^{4}$
(2)$-\frac{1}{8}x^{3}y^{6}$
(3)$8.1× 10^{9}$
(4)$8a^{3}b^{6}$