《2025年智慧学习明天出版社八年级数学上册人教版》

4. 某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：
直线l同旁有两个定点A,B,在直线l上存在点P,使得PA + PB的值最小. 解法：如图(1),作点A关于直线l的对称点A',连接A'B,则A'B与直线l的交点即为P,且PA + PB的最小值为A'B.

请利用上述模型解决下列问题：
(1)如图(2),△ABC中,∠C = 90°,E是AB的中点,P是BC边上的一动点,作出点P,使得PA + PE的值最小；
(2)如图(3),∠AOB = 30°,M,N分别为OA,OB上一动点,若OP = 5,求△PMN的周长的最小值.

答案：
(1)作点A关于直线BC的对称点A₁,连接A₁E,交BC于P,如图所示,点P即为所求.
(2)作点P关于直线OA的对称点F,作点P关于直线OB的对称点G,连接FG,分别交OA,OB于M,N,如图. 根据“将军饮马问题”得到△PMN的周长的最小值为FG,由轴对称的性质得∠FOA=∠AOP,∠POB=∠GOB,OP=OF,OP=OG,
∵∠AOP+∠POB=∠AOB=30°,OP=5,
∴∠FOG=∠FOA+∠AOP+∠POB+∠GOB=60°,OF=OG=5,
∴△FOG为边长为5的等边三角形,
∴FG=5,
∴△PMN的周长的最小值为5.

请你参考小华的作法解决下面的问题.
如图,在△ABC中,点D,E分别是AB,AC边的中点,请你在BC边上确定一点P,使△PDE的周长最小.
在图中作出点P.(保留作图痕迹,不写作法)

答案： 1. 作点D关于直线BC的对称点D'；
2. 连接D'E，交BC于点P。
点P即为所求。（作图痕迹：包含D'的对称作图痕迹及D'E与BC的交点P）