《2025年智慧学习明天出版社八年级数学上册人教版》

自学教科书第50~51页的内容,标注出你认为重要的内容,并解决下列问题.
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.

答案： 相等

1. 用三角尺可按下面方法画角平分线:在已知的$∠AOB$的两边上,分别取$OM = ON$,再分别取过点$M$,$N作OA$,$OB$的垂线,交点为$P$,则$OP平分∠AOB$.为什么?

答案： 证明：
∵ PM⊥OA，PN⊥OB，
∴ ∠OMP=∠ONP=90°。
在Rt△OMP和Rt△ONP中，
OM=ON（已知），
OP=OP（公共边），
∴ Rt△OMP≌Rt△ONP（HL）。
∴ ∠MOP=∠NOP（全等三角形对应角相等）。
∴ OP平分∠AOB。

例 如图,$△ABC的角平分线BM$,$CN相交于点P$.求证:点$P到三边AB$,$BC$,$CA$的距离相等.

答案： 证明：过点P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F。
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，PD⊥AB，PE⊥BC，
∴PD=PE（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）。
同理，
∵CN是△ABC的角平分线，点P在CN上，PE⊥BC，PF⊥AC，
∴PE=PF。
∴PD=PE=PF，即点P到三边AB，BC，CA的距离相等。

1. 如图,$AB⊥CD$,$CE⊥AD$,垂足分别为$B$,$E$,$AB = CE$,$AB$,$CE相交于点F$,连接$DF$.求证:$FD平分∠BFE$.

答案： 提示:证DE=DB.

2. 如图,已知$△ABC$,$BF是△ABC的外角∠CBD$的平分线,$CG是△ABC的外角∠BCE$的平分线,$BF$,$CG相交于点P$.求证:
(1) 点$P到三边AB$,$BC$,$CA$所在直线的距离相等;
(2) 点$P在∠A$的平分线上.

答案： 提示:用角平分线的性质.