《2025年智慧学习明天出版社八年级数学上册人教版》

在等边$\triangle ABC$中,点$E在AB$上,点$D在CB$的延长线上,且$AE = BD$,
(1)当点$E为AB$的中点时,如图(1),求证：$EC = ED$.
(2)当点$E不是AB$的中点时,如图(2),过点$E作EF// BC$,求证：$\triangle AEF$是等边三角形.
(3)在第(2)小题的条件下,$EC与ED$还相等吗,请说明理由.

答案：

(1)如图
(1),在等边△ABC中,
∵AB=BC=AC,∠ABC=∠ACB=∠A=60°,
∵E是AB中点,
∴AE=BE,
∵AE=BD,
∴BE=BD.
∴∠ECB=$\frac{1}{2}$∠ACB=30°,∠EDB=∠DEB=$\frac{1}{2}$∠ACB=30°.
∴∠EDB=∠ECB,
∴EC=ED.

(2)如图
(2),
∵EF//BC,
∴∠AEF=∠ABC=60°,∠AFE=∠C=60°,
∴△AEF为等边三角形.

(3)EC=ED.理由:
∵∠AEF=∠ABC=60°,
∴∠EFC=∠DBE=120°,
∵AB=AC,AE=AF,
∴AB - AE=AC - AF,即BE=FC.在△DBE和△EFG中,$\left\{\begin{array}{l} DB=EF,\\ ∠DBE=∠EFC,\\ BE=FG,\end{array}\right. $
∴△DBE≌△EFG(SAS),
∴ED=EC.