《2025年智慧学习明天出版社八年级数学上册人教版》

18. (9分) 简便运算：
(1) $3.14 × 7.5 + 3.14 × 2.5$；
(2) $1004^{2} - 996^{2}$；
(3) $65^{2} + 2 × 35 × 65 + 35^{2}$.

答案：
(1)31.4
(2)16000
(3)10000

19. (8分) 分解因式：
(1) $(x^{2} - 2xy)^{2} + 2y^{2}(x^{2} - 2xy) + y^{4}$；
(2) $(ax + by)^{2} + (bx - ay)^{2}$.

答案：
(1)$(x-y)^{4}$
(2)$(a^{2}+b^{2})(x^{2}+y^{2})$

20. (5分) 如果二次三项式$4x^{2} + mx + 36$是一个完全平方式,求$m$的值.

答案： $\pm 24$

21. (6分) 阅读、理解、应用.
待定系数法：设某一多项式的全部或部分系数为未知数,利用当两个多项式为恒等式时,同类项系数相等的原理确定这些系数,从而得到待求的值.
待定系数法可以应用到因式分解中,例如问题：因式分解$x^{3} - 1$.
因为$x^{3} - 1$为三次多项式,若能因式分解,则可以分解成一个一次多项式和一个二次多项式的乘积.
故我们可以猜想$x^{3} - 1可以分解成(x - 1)(x^{2} + ax + b)$,展开等式右边得
$x^{3} + (a - 1)x^{2} + (b - a)x - b$.
根据待定系数法原理,等式两边多项式的同类项的对应系数相等：$a - 1 = 0$,$b - a = 0$,$-b = -1可以求出a = 1$,$b = 1$.
所以$x^{3} - 1 = (x - 1)(x^{2} + x + 1)$.
(1) 若$x$取任意值,等式$x^{2} + 2x + 3 = x^{2} + (3 - a)x + 3$恒成立,则$a = $1；
(2) 已知多项式$x^{3} + 2x + 3有因式x + 1$,请用待定系数法求出该多项式的另一因式；
$x^{2}-x+3$
(3) 请判断多项式$x^{4} + x^{2} + 1$是否能分解成两个整系数二次多项式的乘积,并说明理由.
多项式$x^{4}+x^{2}+1$能分解成两个整系数二次多项式的乘积,即$x^{4}+x^{2}+1=(x^{2}+x+1)(x^{2}-x+1)$.理由略.

答案：
(1)1
(2)$x^{2}-x+3$
(3)多项式$x^{4}+x^{2}+1$能分解成两个整系数二次多项式的乘积,即$x^{4}+x^{2}+1=(x^{2}+x+1)(x^{2}-x+1)$.理由略.