《2025年智慧学习明天出版社八年级数学上册人教版》

自学教科书第48~50页的内容,标注出你认为重要的内容,并解决下列问题.
(1) 角平分线的性质:角平分线上的点到角的两边的距离相等.
(2) 证明几何命题的一般步骤:
① 明确命题中的题设和结论;
② 根据题意,画出图形,并用符号表示已知和求证;
③ 经过分析,找出由已知推出要证的结论的途径,写出证明过程.

答案：
(1)相等；
(2)①题设，结论

例 如图,在$△ABC$中,$AO是∠BAC$的平分线,$∠ACB= 90^{\circ}$,点$D在AC$的延长线上,$DE过点O$,且$DE⊥AB$,垂足为$E$. 请你找出图中相等的线段,并说明理由.

答案： $AD = AC + CD$（这一步实际为$D$在$AC$延长线的位置关系，本题要求相等线段，以下为正确相等线段寻找过程）：
$DE = DC$，理由如下：
因为$AO$是$\angle BAC$的平分线，$OC\perp AC$，$OE\perp AB$，
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，
所以$OC = OE$。
在$Rt\triangle AOC$和$Rt\triangle AOE$中，
$\begin{cases}\angle ACO=\angle AEO = 90^{\circ}\\\angle CAO=\angle EAO\\AO = AO\end{cases}$
根据$AAS$（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等），
可得$Rt\triangle AOC\cong Rt\triangle AOE$，
所以$AC = AE$。
因为$\angle ACB = 90^{\circ}$，$DE\perp AB$，
所以$\angle DCO=\angle DEB = 90^{\circ}$，
又因为$OC = OE$，$\angle DOC=\angle DOE$（角平分线性质，角平分线将一个角分成两个相等的角），
在$\triangle OCD$和$\triangle OED$中，
$\begin{cases}OC = OE\\\angle DOC=\angle DOE\\OD = OD\end{cases}$
根据$SAS$（两边及其夹角对应相等的两个三角形全等），
可得$\triangle OCD\cong\triangle OED$，
所以$CD = ED$。
因为$AD=AE + ED$，$AC = AE$，$CD = ED$，
所以$AD=AC + CD$，同时$AB$与$AD$不一定相等，本题相等的线段有$OC = OE$，$AC = AE$，$CD = ED$。
综上，相等的线段有$OC = OE$，$AC = AE$，$CD = ED$。

1. 如图,在直线$MN上求作一点P$,使点$P到射线OA和OB$的距离相等.

答案： 作∠AOB的平分线,与MN的交点即为所求.

2. 如图,$OC是∠AOB$的平分线,$P是OC$上的一点,$PD⊥OA$,$PE⊥OB$,垂足分别为$D$,$E$.$F是OC$上的另一点,连接$DF$,$EF$. 求证:$DF= EF$.

答案： 提示:先证△OPD≌△OPE,得PD=PE,∠OPD=∠OPE,再证△PFD≌△PFE.